ترتيب مفاتيح البيت والسيارة: 30 ترتيبًا فريدًا (مسألة رياضيات)

عندما يتعلق الأمر بترتيب مفاتيح البيت والسيارة على سلسلة المفاتيح، نحن نواجه مسألة ترتيب تستند إلى مفهوم الاختلاف في الترتيب. إذا أردت وضع مفتاح البيت بجوار مفتاح السيارة، يمكننا استخدام النقطة الرئيسية التي تحكم في هذا النوع من المسائل، وهي مفهوم الاختلاف في الترتيب.

عندما يكون لدينا مجموعة من خمسة مفاتيح على السلسلة، فإن عدد الطرق الممكنة لترتيبها يمكن حسابه باستخدام القاعدة العامة للاختلاف في الترتيب وهي n! (n factorial). حيث n هو عدد العناصر.

لهذه المسألة، n يمثل عدد المفاتيح وهو 5. لذا، عدد الطرق الممكنة لترتيب المفاتيح على السلسلة هو 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

لكن علينا أن نأخذ في اعتبارنا أن هناك تكرارات قد تحدث بسبب الاختلاف في الترتيب. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المفاتيح A وB، يمكن ترتيبهما بشكلين مختلفين: AB و BA. لكن في هذه المسألة، نريد حساب عدد الاختلافات بسبب وجود مفتاحي البيت والسيارة.

لذا، نحسب عدد التكرارات بناءً على الحروف المكررة. لدينا مفتاحين مكررين (البيت والسيارة)، لذا نقسم عدد الطرق الممكنة على عدد التكرارات الممكنة، وهو 2! لكل مفتاح. بالتالي، العدد النهائي للترتيبات المميزة هو 5! / (2! × 2!) = 30.

إذاً، هناك 30 ترتيبًا فريدًا يمكن وضع مفاتيح البيت والسيارة والمفاتيح الأخرى على السلسلة بحيث يكون البيت مجاورًا للسيارة.

لحل مسألة ترتيب مفاتيح البيت والسيارة على سلسلة المفاتيح بحيث يكون البيت مجاورًا للسيارة، يمكننا اللجوء إلى مفهوم الاختلاف في الترتيب وقوانين الاحتمالات. سنستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة الاختلاف في الترتيب (n!): تعبر عن عدد الطرق الممكنة لترتيب n عناصر مختلفة. في حالة مفاتيح البيت والسيارة والمفاتيح الأخرى، n هو عدد العناصر الكلي البالغ 5.

2. قاعدة الاحتمالات للتكرارات (n₁! × n₂! × … × nk!): تُستخدم لحساب عدد الترتيبات الممكنة عند وجود تكرارات. في حالتنا، يوجد تكرار لمفتاحي البيت والسيارة، لذا سنقوم بتقسيم عدد الترتيبات الممكنة على عدد التكرارات الممكنة.

الحل:

نحسب عدد الترتيبات الكلي باستخدام قاعدة الاختلاف في الترتيب:
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.$

ثم، نحسب عدد الترتيبات المتكررة بسبب تكرار مفاتيح البيت والسيارة:
$2! \times 2! = 4.$

نقسم العدد الكلي للترتيبات على العدد المتكرر:
$\frac{120}{4} = 30.$

إذاً، هناك 30 ترتيبًا فريدًا يمكن وضع مفاتيح البيت والسيارة والمفاتيح الأخرى على السلسلة بحيث يكون البيت مجاورًا للسيارة.