تحويل دوال رياضية: فهم g(x) بناءً على f(x) (مسألة رياضيات)

نرى من الرسم البياني للدالة $g(x)$ أنها تشابه دالة $f(x)$ ولكن تماثلها إلى اليمين بواسطة المحور الرأسي. بمعنى آخر، إذا كنا نعلم دالة $f(x)$، يمكننا الحصول على $g(x)$ عن طريق تحريك الدالة $f(x)$ إلى اليمين بواسطة المحور الرأسي.

لنكتب $g(x)$ بشكل رياضي باستخدام دالة $f(x)$:
$g(x) = f(-x + 4)$

هنا، $f(-x + 4)$ يعني أننا نقوم بتغيير قيمة $x$ في دالة $f(x)$ إلى $-x + 4$. هذا يعني أننا نقوم بأخذ القيم من دالة $f(x)$ ونحركها إلى اليمين بواسطة المحور الرأسي.

إذاً، حلا للمسألة هو:
$g(x) = f(-x + 4)$

لنحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، لنستخدم الرسم البياني للدوال ونحلل العلاقة بينهما.

الدالة $f(x)$ هي قطع مكونة من ثلاثة أجزاء:

1. للقيم في نطاق $-3 \leq x \leq 0$: $y = -2 – x$
2. للقيم في نطاق $0 \leq x \leq 2$: $y = \sqrt{4 – (x – 2)^2} – 2$
3. للقيم في نطاق $2 \leq x \leq 3$: $y = 2(x – 2)$

الفكرة الأساسية في بنية $g(x)$ هي أنها تأخذ القيم من $f(x)$ وتحركها إلى اليمين بواسطة المحور الرأسي. لحسن الحظ، يمكننا تحقيق هذا باستخدام قاعدة تحويل الدوال التي تتضمن انعكاساً على المحور الرأسي.

قاعدة التحويل هي:
$g(x) = f(-x + 4)$

هنا:

• الانعكاس على المحور الرأسي يظهر بسبب الرقم السالب أمام $x$ داخل الدالة $f(x)$.
• التحريك إلى اليمين يظهر بسبب الرقم المضاف داخل الدالة $f(x)$، والذي هو $4$ في هذه الحالة.

للتأكد، دعنا نأخذ بعض النقاط ونرى كيف تتغير:

1. عند $x = 0$، يتم استبدال $-x + 4$ بقيمة $4$، لذا نحصل على $f(4)$.
2. عند $x = 1$، يتم استبدال $-x + 4$ بقيمة $3$، لذا نحصل على $f(3)$.
3. عند $x = 2$، يتم استبدال $-x + 4$ بقيمة $2$، لذا نحصل على $f(2)$.

باختصار، الحلاقة العامة هي:
$g(x) = f(-x + 4)$

تمثل هذه الصيغة تحويلًا للدالة $f(x)$ إلى اليمين عبر المحور الرأسي.