تحويل الأعداد المعقدة إلى الصيغة القطبية (مسألة رياضيات)

عند تحويل $1 – i \sqrt{3}$ إلى الصيغة العددية القطبية $re^{i \theta}$، يجب تحديد القيمة للمعامل $\theta$.
للقيام بذلك، يمكن استخدام المعادلة التالية:
$re^{i \theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
$= r \cos \theta + r i \sin \theta$

وبما أن العدد المعطى هو $1 – i \sqrt{3}$، يمكننا مقارنة الجزء الحقيقي والجزء الخيالي بالتالي:
$1 = r \cos \theta$
$-\sqrt{3} = r \sin \theta$

لحساب $\theta$، نستخدم المعادلة التالية:
$\tan \theta = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
$\theta = \arctan(-\sqrt{3})$

تمثل $-\sqrt{3}$ نسبة الطول المقابل على الطول المجاور في المثلث المثلثي لذا نبحث عن الزاوية التي تمثل هذه النسبة وهي $-\frac{\pi}{3}$.

لكن يجب أخذ الاشارة المناسبة للربع، فنحن في الربع الثالث حيث يكون $\theta$ هو $-\frac{\pi}{3}$.
لذلك، يمكن كتابة $\theta$ بالصورة التالية:
$\theta = -\frac{\pi}{3}$

في هذه المسألة، نقوم بتحويل العدد المعقد $1 – i \sqrt{3}$ إلى الصيغة القطبية $re^{i \theta}$، حيث $r$ هو النسبة الزاوية المحددة و$\theta$ هو الزاوية.

القوانين المستخدمة:

1. تحويل العدد المعقد إلى صيغة قطبية: نستخدم هنا المعادلات الأساسية لتمثيل الأعداد المعقدة في الفضاء القطبي، حيث $r$ هو المسافة من النقطة إلى المنشأ (النقطة $(0,0)$)، و$\theta$ هو الزاوية التي يجعلها النقطة مع الاتجاه الإيجابي للمحور الأفقي (من الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة).
2. استخدام الدوال المثلثية: لتحديد الزاوية $\theta$، نستخدم الدوال المثلثية، مثل الجيب والظل، حيث نقسم الطول المقابل إلى الطول المجاور.

الحل بالتفصيل:

1. نقوم بمقارنة الجزء الحقيقي والجزء الخيالي للعدد المعقد $1 – i \sqrt{3}$ مع الصيغة القطبية $re^{i \theta}$:
   $1 = r \cos \theta$
   $-\sqrt{3} = r \sin \theta$
2. نستخدم الدوال المثلثية لحساب الزاوية $\theta$، وتوجد القيمة المناسبة في الربع الثالث من المستوى القطبي، لأن الجزء الحقيقي سالب والجزء الخيالي سالب.
3. نستخدم الدالة العكسية للتنجيم للحصول على الزاوية المناسبة.
4. بالتالي، نجد أن قيمة $\theta$ هي $-\frac{\pi}{3}$.

الزاوية تعبر عن الاتجاه الذي يجعل العدد في الفضاء القطبي. ونجد أن الزاوية المناسبة هي $-\frac{\pi}{3}$.

يتمثل الحل في استخدام المفاهيم الرياضية الأساسية للأعداد المعقدة مع استخدام الدوال المثلثية لحساب الزوايا، وتحديد الموقع الصحيح للزاوية في الفضاء القطبي.