تحليل وتقييم تعبير الأس الكسري (مسألة رياضيات)

التعبير الرياضي الذي يُطلب تقييمه هو $81^{3/4}$. لفهم هذا التعبير بشكل أفضل، يمكننا ترجمة ذلك إلى لغة أكثر تفصيلاً.

$81^{3/4}$ يعني رفع العدد 81 إلى القوة 3/4. في هذه الحالة، يمكننا تفسير الأس الكسري بأنها تمثل جذر رباعي للعدد 81، أي أننا نقوم برفع العدد 81 إلى الجذر الرباعي.

الآن، لنقم بحساب هذا بطريقة تفصيلية. الجذر الرباعي للعدد 81 يعني أننا نبحث عن العدد الذي إذا قمنا برفعه إلى القوة 4، سيكون ناتج العملية هو 81. للعثور على هذا العدد، يمكننا رفع العدد 81 إلى القوة 1/4، حيث يمثل هذا الجذر الرباعي.

إذاً:
$81^{1/4} = \sqrt[4]{81}$

الآن، يمكننا حساب هذا:
$81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3$

إذاً، تقييم التعبير الرياضي $81^{3/4}$ يساوي 3.

بالطبع، سأوضح الخطوات بتفصيل أكبر وسأستخدم القوانين الرياضية المناسبة في الحل.

التعبير الذي نحتاج لحله هو $81^{3/4}$. لفهم هذا التعبير، يمكن تجزئته إلى جزئين: الأس الكسري 3/4 والعدد الأساسي 81.

للبداية، نعلم أن $81$ يمكن تعبيره على أنه $3^4$، حيث يتم ضرب العدد 3 في نفسه أربع مرات. هذا يتوافق مع القاعدة التي تقول إنه إذا كان الأس الكسري هو n/m وكان العدد الأساسي عدد صحيح س، فإن القيمة تكون s^(n/m) = s^(n)^(1/m).

لذلك:
$81^{3/4} = (3^4)^{3/4}$

في هذه المرحلة، يمكننا استخدام قاعدة الأس الكسري التي تقول إن $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. لذلك:
$(3^4)^{3/4} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}}$

الآن، نلاحظ أن الأساس (العدد الذي نقوم برفعه إلى القوة) هو 3، والأس الكسري هو 3/4. نعلم أن $a^{n \cdot m} = (a^n)^m$، لذلك يمكننا كتابة:
$3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}}$

في هذا الوقت، يمكننا استخدام القاعدة $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ مرة أخرى:
$(3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}}$

الآن، نجد أن $4 \cdot \frac{3}{4} = 3$، لذلك يمكننا بسهولة كتابة:
$3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3$

وأخيرًا، نعلم أن $a^n = a \cdot a \cdot a$ عندما يكون n يساوي 3، لذلك:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

لذلك، التقييم النهائي للتعبير $81^{3/4}$ هو 27.