تحليل نطاق الدالة الرياضية G(x) (مسألة رياضيات)

نرغب في حساب نطاق الدالة $G(x) = |x + 1| – |x – 1|$ وتعبير الإجابة باستخدام تعابير الفترات.

للقيام بذلك، يمكننا فحص قيم مختلفة لـ $x$ وتحديد القيم المتناقضة بين $|x + 1|$ و $|x – 1|$ للعثور على القيم الكلية لـ $G(x)$.

لنبدأ بفحص حالات مختلفة:

1. عندما $x \leq -1$:

   • $|x + 1| = -(x + 1)$ لأن $x + 1$ سيكون سالبًا.
   • $|x – 1| = -(x – 1)$ لأن $x – 1$ سيكون أيضًا سالبًا.
   • إذاً، $G(x) = -(x + 1) – [-(x – 1)] = -x – 1 + x – 1 = -2$.

2. عندما $-1 < x \leq 1$:

   • $|x + 1| = x + 1$ لأن $x + 1$ سيكون موجبًا.
   • $|x – 1| = -(x – 1)$ لأن $x – 1$ سيكون سالبًا.
   • إذاً، $G(x) = (x + 1) – [-(x – 1)] = x + 1 + x – 1 = 2x$.

3. عندما $x > 1$:

   • $|x + 1| = x + 1$ لأن $x + 1$ سيكون موجبًا.
   • $|x – 1| = x – 1$ لأن $x – 1$ سيكون موجبًا.
   • إذاً، $G(x) = (x + 1) – (x – 1) = 2$.

الآن، لنلخص النتائج:

• عندما $x \leq -1$، $G(x) = -2$.
• عندما $-1 < x \leq 1$، $G(x) = 2x$.
• عندما $x > 1$، $G(x) = 2$.

لذا، نطاق الدالة $G(x)$ هو:

وباستخدام تعابير الفترات، يمكننا تعبير النطاق كما يلي:

$\text{نطاق } G(x) = \{ -2 \} \cup \{ 2x \mid -1 < x \leq 1 \} \cup \{ 2 \}$

ويمكننا تبسيط تعابير الفترات لتكون:

$\text{نطاق } G(x) = \{ -2 \} \cup \{ 2x \mid -1 < x \leq 1 \} \cup \{ 2 \} = \{ -2 \} \cup \{ 2x \mid -1 < x \}$

هكذا نكون قد حسبنا نطاق الدالة وعبرنا عن الإجابة باستخدام تعابير الفترات.

بالطبع، دعونا نستكشف تفاصيل أكثر لحل المسألة ونشرح القوانين المستخدمة. سنتبع خطوات تحليلية لتحديد نطاق الدالة $G(x) = |x + 1| – |x – 1|$ على فترات مختلفة من محور $x$.

1. لحالة $x \leq -1$:
   في هذه الحالة، نستخدم قاعدة أساسية لقيم المطلق:

   • $|x + 1| = -(x + 1)$ لأن $x + 1$ سالب.
   • $|x – 1| = -(x – 1)$ لأن $x – 1$ سالب.
     بالتالي، نحسب:
     $G(x) = -(x + 1) – [-(x – 1)] = -x – 1 + x – 1 = -2$

2. لحالة $-1 < x \leq 1$:
   في هذه الحالة، يمكننا استخدام قاعدة أخرى:

   • $|x + 1| = x + 1$ لأن $x + 1$ موجب.
   • $|x – 1| = -(x – 1)$ لأن $x – 1$ سالب.
     نحسب:
     $G(x) = (x + 1) – [-(x – 1)] = x + 1 + x – 1 = 2x$

3. لحالة $x > 1$:
   في هذه الحالة، نستخدم نفس القاعدة الأولى:

   • $|x + 1| = x + 1$ لأن $x + 1$ موجب.
   • $|x – 1| = x – 1$ لأن $x – 1$ موجب.
     نحسب:
     $G(x) = (x + 1) – (x – 1) = 2$

توضيح القوانين المستخدمة:

1. قاعدة المطلق:
   للعدد الحقيقي $a$، قاعدة المطلق تقول أن $|a|$ يكون مسافة $a$ عن الصفر على المحور العددي. إذا كان $a$ سالبًا، فإن $|a| = -a$، وإذا كان موجبًا، فإن $|a| = a$.

2. قاعدة الجمع والطرح:
   يمكننا جمع أو طرح قيم المطلق على حسب الحالة الإيجابية أو السالبة للعدد.

3. قاعدة التوزيع:
   يمكن توزيع القيم المطلق في حالة وجودها في جمع أو طرح.

تلخيص النتائج:
نطاق الدالة $G(x)$ يكون:

ونطاق $G(x)$ يمكن تعبيره باستخدام تعابير الفترات كالتالي:
$\text{نطاق } G(x) = \{ -2 \} \cup \{ 2x \mid -1 < x \}$

هذا الحل يعتمد على فهم القوانين الرياضية المتعلقة بالمطلق والجمع والطرح والتوزيع، ويوضح كيفية تطبيقها لحساب نطاق الدالة.