تحليل مسألة الأسس واللوغاريتم. (مسألة رياضيات)

نريد تعبير العدد 1562 كمجموعة من الأسس المتمايزة للعدد 2. لنجد أقل مجموع للأسس، نحتاج إلى تقسيم 1562 إلى أكبر قدر ممكن من الأسس المتمايزة للعدد 2.

سنبدأ بأكبر قوة للعدد 2 ونقوم بالقسمة بشكل متكرر حتى نصل إلى القيمة الأدنى.

بالقسمة على 2، نحصل على:
$1562 ÷ 2 = 781$

ولا يمكن تقسيم 781 على 2 بأي كامل، لذلك نقوم بتجاهل الباقي ونتوقف في هذه المرحلة.

لكن كيف يمكننا تحقيق الرقم 781 كمجموعة من الأسس المتمايزة للعدد 2؟

سنكتشف أن 781 يمكن تعبيره على النحو التالي:
$781 = 2^9 + 2^8 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^0$

الآن، سنجمع مجموع الأسس:
$9 + 8 + 6 + 5 + 4 + 0 = 32$

إذاً، يبدو أن القيمة المعطاة 27 غير صحيحة. دعونا نرى ما إذا كان هناك خطأ في الحسابات أم لا.

عندما نقوم بالتحقق مرة أخرى، نرى أن القيمة المطلوبة هي 32 وليس 27.

الآن بالنظر إلى السؤال الثاني، نحن بحاجة إلى معرفة قيمة المتغير X. لدينا معادلة:

$2^X = 1562$

نحتاج إلى حل هذه المعادلة للعثور على قيمة X.

عندما نقوم بحساب X، نجد أنه يحتاج إلى تقريبا 10.949 لتكون القيمة الأقرب للعدد الصحيح. بالتالي، قيمة X تقريبا تساوي 10.949.

في النهاية، يتبين أن قيمة المتغير X تقريبا تساوي 10.949 وليس 27.

لحل المسألة وتحديد القيمة الصحيحة لـ X ومجموع الأسس، نحتاج إلى الانتباه إلى عدة نقاط وقوانين:

1. تحويل العدد إلى قوى العدد 2:
   نحتاج إلى تعبير العدد 1562 كمجموعة من الأسس المتمايزة للعدد 2. هذا يعني أننا نحاول تقسيم 1562 إلى جمع متميز من الأسس الأعلى للعدد 2.

2. قانون الأسس:
   قاعدة الأسس تقول إنه إذا كانت $a^m = n$ ، حيث $a$ و $m$ و $n$ عبارة عن أعداد حقيقية موجبة، فإن $m$ هو اللوغاريتم القاعدي ل $n$ بقاعدة $a$.

3. تجزئة العدد:
   نحاول قسم العدد 1562 إلى مجموعة من الأعداد الصحيحة المتميزة، متمثلة في القوى المختلفة للعدد 2.

الآن، لنقم بحل المسألة:

نحن نبحث عن تعبير للعدد 1562 كمجموعة من الأسس المتمايزة للعدد 2. نبدأ بأعلى قوة للعدد 2 ونقوم بتجزئة 1562 حتى لا يتبقى باقي:

$1562 = 2^9 + 2^8 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^0$

الآن، نجمع مجموع الأسس:

$9 + 8 + 6 + 5 + 4 + 0 = 32$

إذاً، مجموع الأسس المتمايزة هو 32.

لحساب قيمة المتغير X، نستخدم قاعدة الأسس:

$2^X = 1562$

نرغب في حساب قيمة $X$ لتكون $2^X$ مساويًا لـ 1562. نستخدم اللوغاريتم الطبيعي (قاعدة 2) لحساب هذا:

$X = \log_2(1562) \approx 9.954$

وبما أننا بحاجة إلى قيمة صحيحة، فإن $X$ تقريبًا تساوي 9.954.

بالتالي، القيمة الصحيحة لـ $X$ هي 10. وهذا يعني أن القوة العاشرة للعدد 2 هي 1562.

تم استخدام القوانين التالية في الحل:

• قاعدة الأسس.
• قاعدة اللوغاريتم.