تحليل رياضي لرحلة المتسلقين في الجبال (مسألة رياضيات)

المسألة:

مجموعة من المتسلقين تخطط لرحلة ستأخذهم إلى قمة الجبل باستخدام طريق واحد والنزول باستخدام طريق آخر. يخططون للسفر إلى أعلى الجبل بمعدل 6 أميال في اليوم وسيأخذونهم يومين. سيتنقلون أسفل الجبل بمعدل مرة ونصف السرعة التي سيستخدمونها في الصعود، ولكن الزمن المستغرق في كل طريق سيكون متساويًا. كم يبلغ طول الطريق للنزول من الجبل؟

الحل:

لنفترض أن المسافة الإجمالية للصعود إلى القمة هي “س” ميل. إذاً، سيأخذ الفريق يومين للصعود بمعدل 6 أميال في اليوم، وبالتالي:

$س = 6 \, \text{ميل/يوم} \times 2 \, \text{أيام} = 12 \, \text{ميل}$

الآن، سنقوم بحساب معدل النزول. المعدل في النزول هو 1.5 مرة معدل الصعود، وبما أن الوقت هو نفسه على كلا الطريقين، فإن المسافة المستخدمة في النزول يمكن حسابها كالتالي:

$\text{المسافة في النزول} = \frac{1}{1.5} \times 12 \, \text{ميل} = 8 \, \text{ميل}$

إذاً، طول الطريق للنزول من الجبل هو 8 أميال.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الوضع بدقة واستخدام بعض القوانين الرياضية. لنبدأ بتحديد المعطيات:

المعطيات:

• معدل الصعود $\text{Rate}_{\text{up}} = 6 \, \text{ميل/يوم}$
• زمن الصعود $\text{Time}_{\text{up}} = 2 \, \text{أيام}$
• معدل النزول $\text{Rate}_{\text{down}} = 1.5 \times \text{Rate}_{\text{up}}$
• زمن النزول $\text{Time}_{\text{down}} = \text{Time}_{\text{up}}$
• المسافة في النزول $\text{Distance}_{\text{down}}$

قانون السرعة هو:
$\text{Distance} = \text{Rate} \times \text{Time}$

الآن، سنستخدم قوانين الحركة لحساب المسافة في الصعود والنزول. في الصعود:

$\text{Distance}_{\text{up}} = \text{Rate}_{\text{up}} \times \text{Time}_{\text{up}}$

وبما أن الوقت في النزول هو نفسه في الصعود:

$\text{Distance}_{\text{down}} = \text{Rate}_{\text{down}} \times \text{Time}_{\text{down}}$

ويعتبر معدل النزول مرة ونصف معدل الصعود:

$\text{Rate}_{\text{down}} = 1.5 \times \text{Rate}_{\text{up}}$

الآن، نحسب المسافة في الصعود:

$\text{Distance}_{\text{up}} = 6 \, \text{ميل/يوم} \times 2 \, \text{أيام} = 12 \, \text{ميل}$

ونستخدم العلاقة بين معدلات النزول والصعود:

$\text{Rate}_{\text{down}} = 1.5 \times 6 \, \text{ميل/يوم} = 9 \, \text{ميل/يوم}$

الآن، نستخدم العلاقة في حساب المسافة في النزول:

$\text{Distance}_{\text{down}} = 9 \, \text{ميل/يوم} \times 2 \, \text{أيام} = 18 \, \text{ميل}$

لذا، طول الطريق للنزول من الجبل يبلغ 18 ميل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون السرعة: $\text{Distance} = \text{Rate} \times \text{Time}$
2. قوانين الحركة في الصعود والنزول.