تحليل رياضي: تعبير حسابي معقد (مسألة رياضيات)

المطلوب إيجاد أكبر قيمة للثابت $m$ بحيث يتم ارتفاع قيم التعبير
$\sqrt{\frac{a}{b + c + d}} + \sqrt{\frac{b}{a + c + d}} + \sqrt{\frac{c}{a + b + d}} + \sqrt{\frac{d}{a + b + c}}$
لأي أعداد حقيقية موجبة $a,$ $b,$ $c,$ و$d.$

الحل:

لنبدأ بتبسيط التعبير. قبل كل شيء، نرى أن الشروط تتطلب أن يكون المقام في كل جذر حقيقيًا. لذلك، لنفرض أن $a,$ $b,$ $c,$ و$d$ هي أعداد حقيقية موجبة.

الآن، لنقم بتبسيط الجذور. نراعي العلاقة التالية:
$\sqrt{\frac{a}{b + c + d}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b + c + d}}.$

لذلك، نقوم بتبسيط التعبير الكلي إلى:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b + c + d}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a + c + d}} + \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a + b + d}} + \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a + b + c}}.$

لنقم بتوحيد المقامات عن طريق ضرب كل جمع في البسط والمقام بجذر $(a + b + c + d).$ وبعد التبسيط، نحصل على:
$\frac{\sqrt{a(a + b + c + d)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)}} + \frac{\sqrt{b(a + b + c + d)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(a + c + d)}} + \frac{\sqrt{c(a + b + c + d)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(a + b + d)}} + \frac{\sqrt{d(a + b + c + d)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(a + b + c)}}.$

بتجميع البسط في جميع الكسور، نحصل على:
$\frac{\sqrt{a(a + b + c + d)} + \sqrt{b(a + b + c + d)} + \sqrt{c(a + b + c + d)} + \sqrt{d(a + b + c + d)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}}.$

الآن، نقوم بتحليل المذكور في البسط. باستخدام متسلسلة ماركوف، يمكن إظهار أن:
$\sqrt{a(a + b + c + d)} + \sqrt{b(a + b + c + d)} + \sqrt{c(a + b + c + d)} + \sqrt{d(a + b + c + d)} > 2\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}.$

إذاً، الناتج الكلي يكون أكبر من:
$\frac{2\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}} = 2.$

بالتالي، أفضل قيمة للثابت $m$ هي $2.$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق بعض القوانين الرياضية والتحليل الجبري لتبسيط التعبير وفهم العلاقات بين الأعداد. سنبدأ بتفصيل الحل خطوة بخطوة مع استخدام القوانين المطلوبة.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الجمع تحت الجذر: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$
2. ضرب التكامل: $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$
3. توحيد المقامات: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
4. تكامل الجذور: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

الحل:

نأتي إلى التعبير المعطى:
$\sqrt{\frac{a}{b + c + d}} + \sqrt{\frac{b}{a + c + d}} + \sqrt{\frac{c}{a + b + d}} + \sqrt{\frac{d}{a + b + c}}.$

نبدأ بتبسيط كل جذر باستخدام قاعدة الجمع تحت الجذر:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b + c + d}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a + c + d}} + \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a + b + d}} + \frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a + b + c}}.$

نقوم بضرب وتوحيد المقامات باستخدام قوانين الضرب وتوحيد المقامات:
$\frac{\sqrt{a(a + b + c + d)} + \sqrt{b(a + b + c + d)} + \sqrt{c(a + b + c + d)} + \sqrt{d(a + b + c + d)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}}.$

نستخدم العلاقة المعروفة بتفاوت متسلسلة ماركوف:
$\sqrt{a(a + b + c + d)} + \sqrt{b(a + b + c + d)} + \sqrt{c(a + b + c + d)} + \sqrt{d(a + b + c + d)} > 2\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}.$

نضع هذا الناتج في المعادلة الأصلية:
$\frac{2\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}}{\sqrt{(a + b + c + d)(b + c + d)(a + c + d)(a + b + d)(a + b + c)}}.$

نقوم بتبسيطها للحصول على الناتج النهائي:
$2.$

إذا كانت جميع الأعداد $a, b, c, d$ حقيقية موجبة، يكون الحد الأدنى للتعبير المعطى هو $2.$