تحليل دوال: فردية وزوجية (مسألة رياضيات)

إذا كان $f(x) = |g(x^3)|$ و $g$ دالة فرد، هل يمكن تصنيف $f$ كفردية، زوجية، أو ليست أيًا منهما؟

لنبدأ بتحليل الدوال المعطاة. الدالة $g$ تعتبر فردية إذا كانت تتحقق الشرط التالي: $g(-x) = -g(x)$ لكل قيمة $x$ في مجال تعريف $g$.

الآن، دعنا نقوم بتحليل الدالة $f(x)$. يُعطى $f(x)$ بالتالي:

$f(x) = |g(x^3)|$

نرى أنه يتم استبدال $x$ بـ $x^3$ داخل $g$. هذا لا يؤثر على فردية أو زوجية $g$ لأنها تظل تعمل على قيمة $x$ ولا تتأثر بطبيعة العملية الرياضية التي تُطبق على $x$.

ومع ذلك، فإن استخدام القيمة المطلقة $| \cdot |$ يعني أن $f(x)$ ستكون دائمًا موجبة بغض النظر عن علامة $g(x^3)$، لأن $|a| = a$ إذا كان $a$ موجبًا، وهذا يعني أن $f(x)$ ستكون دائمًا متماثلة حول محور $y$ (تعتبر زوجية) بغض النظر عن فردية أو زوجية $g$.

باختصار، عندما نأخذ القيمة المطلقة لـ دالة فردية أو زوجية، فإن الناتج دائمًا يكون زوجيًا، لذا فإن $f(x)$ ستكون دالة زوجية.

لنقم بتحليل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

المعطيات:

• $f(x) = |g(x^3)|$
• $g$ دالة فرد

نريد تحديد طبيعة $f(x)$، هل هي دالة فردية، زوجية، أو ليست أيًا منهما؟

لنبدأ بالتحليل:

1. الدالة $g$ فردية: يعني أن $g(-x) = g(x)$ لكل $x$ في مجال التعريف الخاص بها.

2. التعبير $f(x) = |g(x^3)|$: هنا، نقوم بتطبيق دالة $g$ على $x^3$ ومن ثم نأخذ القيمة المطلقة للناتج.

الآن، لنقم بتحليل $f(x)$:

أولاً، نقوم بتطبيق $g$ على $x^3$، ولكون $g$ فردية، فإن $g(-x^3) = g(x^3)$.

ثانياً، نأخذ القيمة المطلقة للناتج $g(x^3)$، مما يعني أنها ستكون موجبة سواء كانت $g(x^3)$ إيجابية أو سالبة.

بما أن القيمة المطلقة تُزيل العلامة وتجعل القيمة دائمًا إيجابية، فإنها تعمل كدالة زوجية حول محور $y$، بغض النظر عن الدالة $g$ الأصلية.

باستخدام القوانين الرياضية:

• خصائص الدوال الفردية: $g(-x) = g(x)$
• القيمة المطلقة: $|a| = a$ إذا كان $a$ موجبًا

بناءً على هذا التحليل، يتبين أن $f(x)$ هي دالة زوجية، أي أنها تتماثل حول محور $y$، وهذا يعني أنها ترتبط بالقواعد الرياضية للدوال الزوجية.