تحليل تبعية مجموعة خطية (مسألة رياضيات)

نقوم بدراسة تبعية مجموعة النواتج الصفية للمصفوفة التي تتكون من الأعضاء المذكورة في المجموعة الخطية { (1, 2), (3, k) }. لنقم بذلك، نكتب المصفوفة ذات الصفين الثلاثة باستخدام الأعضاء المعنية:

$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \end{bmatrix}$

نقوم بتطبيق عمليات الصف المصفوفة لتحويلها إلى الشكل القالبي المختصر. أولاً، نطرح ثلاثة أضعاف الصف الأول من الصف الثاني:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & k-6 \end{bmatrix}$

الآن، إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف أو عمود من الأصفار، فإن المصفوفة غير كاملة الرتبة وبالتالي الأعضاء في المجموعة الخطية هما تابعتان.

لذا، لنجد القيم الممكنة لـ $k$ التي تجعل المجموعة الخطية تكون تابعة، يجب أن يكون $k-6 = 0$. إذاً:

$k – 6 = 0 \Rightarrow k = 6$

لذا، المجموعة الخطية { (1, 2), (3, k) } تكون تابعة إذا كانت قيمة $k$ تساوي 6.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، سنستخدم القوانين المتعلقة بتحليل الصفوف والأعمدة للمصفوفات بهدف فهم تبعية المجموعة الخطية. نبدأ بكتابة المصفوفة:

$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \end{bmatrix}$

نريد تحويل هذه المصفوفة إلى الشكل القالبي المختصر، ولنفعل ذلك، سنقوم بتطبيق عمليات الصف. الهدف هو جعل الصفوف تتبع ترتيب قالبي معين.

1. نطرح ثلاثة أضعاف الصف الأول من الصف الثاني:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & k-6 \end{bmatrix}$

الآن، للتحقق من تبعية المجموعة الخطية، نحتاج إلى التحقق من وجود صفوف من الأصفار. إذا كان $k-6$ يساوي صفر، فإن المجموعة تكون تابعة.

2. قانون استخدام: لتكون المجموعة تابعة، يجب أن يكون $k-6 = 0$.

$k – 6 = 0 \Rightarrow k = 6$

إذاً، القيمة الوحيدة التي تجعل المجموعة الخطية تابعة هي $k = 6$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الصفوف: يمكننا ضرب أو جمع الصفوف بمعاملات غير صفر.
2. قانون الأعمدة: يمكننا ضرب أو جمع الأعمدة بمعاملات غير صفر.
3. قانون الصفر: إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف أو عمود من الأصفار، فإنها غير كاملة الرتبة والمجموعة الخطية تكون تابعة.

باختصار، المصفوفة تكون تابعة إذا كانت القيمة $k$ تجعل الصف الثاني يتكون من أصفار، وهو الحال عندما $k = 6$.