تحقيق الحد الأقصى للتعبير الجذري (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة بشكل مترجم:

لنكن $0 \le a,$ $b,$ $c \le X$، والهدف هو العثور على القيمة القصوى للتالي:
$\sqrt{abc} + \sqrt{(1 – a)(1 – b)(1 – c)}.$

إذا كانت الإجابة المعروفة لهذا السؤال هي 1، فما هي قيمة المتغير الغير معروف X؟

الآن سنقوم بحل المسألة:

لنقوم بتحليل العبارة المطروحة، نجد أننا نتعامل مع جذور تربيعية للتعابير $abc$ و $(1 – a)(1 – b)(1 – c)$، وهذا يشير إلى الرغبة في تحقيق الحد الأقصى لضرب الجذور.

لتحقيق هذا الهدف، يتعين علينا النظر إلى القيود على المتغيرات $a، b، c$، وهي أن تكون قيمها بين 0 و $X$.

للوهلة الأولى، يمكن أن يكون التفكير في استخدام المتغيرات الحرة لتحديد القيم المناسبة. لنقم بتحديد $a = b = c = X$، وهو الحال الذي يتيح لنا الاستفادة القصوى من قيمة $X$ في كل مكان.

باستخدام هذه القيم، نجد أن العبارة المطروحة تأخذ القيمة التالية:
$\sqrt{X^3} + \sqrt{(1 – X)^3}.$

الآن، نحتاج إلى تحديد قيمة $X$ التي تحقق الحد الأقصى لهذه العبارة. من المعروف أن الإجابة النهائية هي 1، لذا نحتاج إلى حل المعادلة:
$\sqrt{X^3} + \sqrt{(1 – X)^3} = 1.$

بعد حساب القيم، نجد أن القيمة المناسبة للمتغير الغير معروف $X$ هي 0.5.

إذاً، إذا كانت القيمة القصوى للتعبير المعطى تكون 1 عندما تكون قيم المتغيرات $a، b، c$ بين 0 و $X$، فإن قيمة المتغير الغير معروف $X$ هي 0.5.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونستخدم بعض القوانين والتقنيات الرياضية. نأمل أن يكون الحل التالي وافياً وواضحاً:

المطلوب هو العثور على القيمة القصوى للتالي:
$\sqrt{abc} + \sqrt{(1 – a)(1 – b)(1 – c)}.$

أولاً، لنفحص العبارة ونستخدم بعض القوانين المفيدة:

1. قانون الأمثلية (AM-GM):
   $\text{لأي } x, y \ge 0, \quad \sqrt{xy} \le \frac{x + y}{2}.$

2. ضرب الجذور:
   $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.$

3. تجنب استخدام قوانين معقدة في الحالة الحالية.

الآن، لنستخدم هذه القوانين في حل المسألة:

نبدأ بتطبيق قانون AM-GM على الجزء الأول من العبارة:
$\sqrt{abc} \le \frac{a + b + c}{3}.$

باستخدام ضرب الجذور، يمكننا كتابة:
$\sqrt{abc} \le \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}{3}.$

الآن، نقوم بتطبيق قانون AM-GM على الجزء الثاني من العبارة:
$\sqrt{(1 – a)(1 – b)(1 – c)} \le \frac{(1 – a) + (1 – b) + (1 – c)}{3}.$

تجنبًا للتعقيد، نتجاوز تفاصيل الحسابات الدقيقة هنا. باستخدام ضرب الجذور مرة أخرى، يمكننا كتابة:
$\sqrt{(1 – a)(1 – b)(1 – c)} \le \frac{\sqrt{1 – a} + \sqrt{1 – b} + \sqrt{1 – c}}{3}.$

الآن، نقوم بجمع النتائج:
$\sqrt{abc} + \sqrt{(1 – a)(1 – b)(1 – c)} \le \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}}{3} + \frac{\sqrt{1 – a} + \sqrt{1 – b} + \sqrt{1 – c}}{3}.$

للوصول إلى أقصى قيمة، يجب أن تكون القيم $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}, \sqrt{1 – a}, \sqrt{1 – b}, \sqrt{1 – c}$ متساوية، وذلك عندما تكون $a = b = c = \frac{1}{2}$.

لذا، الحل هو:
$\sqrt{abc} + \sqrt{(1 – a)(1 – b)(1 – c)} \le \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

إذا كانت القيمة القصوى للتعبير المعطى تكون $1$، فإن القيمة المناسبة للمتغير الغير معروف $X$ هي $0.5$.

لاحظ أن هذا الحل يعتمد على استخدام قانون الأمثلية والتلاعب بالتعابير باستخدام ضرب الجذور.