تحديد نطاق الدالة اللوغاريتمية المركبة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد نطاق الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$.

الحل:
لحساب نطاق الدالة المعطاة، يجب أن نأخذ في الاعتبار قيمة التابع المستعملة في كل لوغاريتم. نبدأ بتحليل التابع الأكثر داخليًّا ونتجه نحو الخارج.

نظرًا لأننا نقوم بتطبيق لوغاريتم على $x$، يجب أن يكون $x$ موجبًا (حيث لا يوجد لوغاريتم للأعداد السالبة أو الصفر). لذا، نقول $x > 0$.

الآن، لنحل لوغاريتم الثاني، يجب أن يكون مدخلها موجبًا، بمعنى آخر، $\log_3(\log_4x) > 0$. هذا يعني أن $\log_4x > 1$، لأن $\log_3(1) = 0$ ونريد قيمة أكبر من صفر.

لحل $\log_4x > 1$، نرفع كلا الجانبين إلى الأساس $4$ للحصول على $x > 4^1$، أو بشكل مبسط $x > 4$.

الآن، نحل لوغاريتم الأول، حيث يجب أن يكون مدخلها موجبًا أيضًا، أي $\log_2(\log_3(\log_4x)) > 0$. هذا يعني أن $\log_3(\log_4x) > 1$، لأن $\log_2(1) = 0$ ونريد قيمة أكبر من صفر.

بما أننا قد وجدنا $\log_4x > 1$، فإن $\log_3(\log_4x)$ يجب أن تكون أكبر من $1$ أيضًا. لحل هذا، نرفع كلا الجانبين إلى الأساس $3$ للحصول على $\log_4x > 3^1$، أو بشكل مبسط $\log_4x > 3$.

لحل $\log_4x > 3$، نرفع كلا الجانبين إلى الأساس $4$ للحصول على $x > 4^3$، أو ببساطة $x > 64$.

إذاً، النطاق المسموح به للدالة $f(x)$ هو $x > 64$ أو بشكل رياضي: $(64, +\infty)$.

لحساب نطاق الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$، نحتاج إلى فهم قوانين اللوغاريتم وكيفية تطبيقها على هذه الدالة.

1. قانون اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم العدد $x$ بالقاعدة $a$ يساوي $y$ إذا وحسب العلاقة التالية: $\log_a(x) = y$ يعني $a^y = x$.
2. قانون التبادل للوغاريتمات: يتيح هذا القانون تبديل مواقع القاعدة والمرجح في اللوغاريتم، أي: $\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}$.
3. قانون القوة للوغاريتمات: يسمح هذا القانون بضرب مرجحات اللوغاريتم في قوة اللوغاريتم، ويعطي: $\log_a(b^c) = c \times \log_a(b)$.

الآن، دعونا نحل المسألة خطوة بخطوة:

أولاً، نبدأ باللوغاريتم الداخلي: $\log_4(x)$. هنا، يجب أن يكون $x > 0$ لأنه يجب أن يكون المدخل موجبًا.

ثانيًا، نحل لوغاريتم الوسط: $\log_3(\log_4(x))$. نريد أن يكون مدخل هذا اللوغاريتم موجبًا، لذا يجب أن يكون $\log_4(x) > 0$، مما يعني $x > 1$.

ثالثًا، نحل لوغاريتم الخارجي: $\log_2(\log_3(\log_4(x)))$. هنا، نريد أن يكون مدخل هذا اللوغاريتم موجبًا أيضًا، لذا يجب أن يكون $\log_3(\log_4(x)) > 0$.

الآن، بما أننا توصلنا إلى $x > 1$، فإننا نعرف أن $\log_4(x) > 0$، مما يعني $x > 1$.

بالمقارنة مع الحل السابق، نجد أنه يجب أن يكون $x > 64$ بالفعل، وهذا هو النطاق المسموح به للدالة $f(x)$.

تمثلت الخطوات المستخدمة في الحل في تحليل مداخل اللوغاريتمات وضمان أنها تلبي الشروط اللازمة للقيام بعملية اللوغاريتم بشكل صحيح وتأكيد أن النطاق النهائي يفي بكافة الشروط المطلوبة.