تحديد تقاطع دالة بأفقيها الأساسية (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد القيمة المناسبة للمتغير $x$ التي تجعل الدالة $f(x) = \frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1}$ تتقاطع مع الخط الأفقي للدالة.

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل الدالة. الخطوة الأولى هي حساب الأس asymptotes الرأسي vertical والأفقي horizontal للدالة. للتحقق من وجود الأفقي horizontal asymptote، نراجع سلوك الدالة عندما يقترب المتغير $x$ من $\pm \infty$.

نلاحظ أن درجة البسط والمقام في الدالة متساوية، إذاً نقوم بقسمة معاملات المتغير الرئيسية في البسط والمقام، وذلك للحصول على معامل الأفقي horizontal asymptote:

بعد إجراء العمليات الحسابية، نجد أن المعامل الرئيسي لكل من البسط والمقام هو $2$، وبالتالي، فإن الأفقي horizontal asymptote للدالة هو:

$y = 2$

الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على القيمة المناسبة للمتغير $x$:

نقوم بضرب كل جهة في المقام لتبسيط المعادلة:

$2x^2 – 5x – 7 = 2x^2 – 8x + 2$

نقوم بجمع المتغيرات في جهة واحدة وتبسيط المعادلة:

$3x = 9$

ثم نقوم بقسمة الطرفين على $3$ للحصول على القيمة النهائية للمتغير:

$x = 3$

إذاً، القيمة المناسبة للمتغير $x$ التي تجعل الدالة تتقاطع مع الأفقي horizontal asymptote هي $x = 3$.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل، نبدأ بحساب الأفقي horizontal والرأسي vertical asymptotes للدالة المعطاة:

1. حساب الأفقي horizontal asymptote:
   نستخدم قاعدة حساب الحد limit عند $x$ يقترب من $\pm \infty$. للدالة $f(x) = \frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1}$، نقوم بقسمة معاملات المتغير الرئيسية في البسط والمقام:

   $$\lim_{{x \to \pm \infty}} f(x) = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1} = \frac{\lim_{{x \to \pm \infty}} (2x^2 – 5x – 7)}{\lim_{{x \to \pm \infty}} (x^2 – 4x + 1)}$$

   بعد حساب الحدود، نجد أن الأفقي horizontal asymptote هو $y = 2$.

2. حل المعادلة للتقاطع مع الأفقي:
   نقوم بحل المعادلة:

   $$\frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1} = 2$$

   بضرب كل جهة في المقام لتبسيط المعادلة:

   $$2x^2 – 5x – 7 = 2x^2 – 8x + 2$$

   بجمع المتغيرات في جهة واحدة:

   $$3x = 9$$

   وبقسمة الطرفين على $3$، نجد أن:

   $$x = 3$$

   لذا، القيمة المناسبة للمتغير $x$ التي تجعل الدالة تتقاطع مع الأفقي horizontal asymptote هي $x = 3$.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة حساب الحد في حالة $x$ يقترب من $\pm \infty$.
• قاعدة حساب المعاملات الرئيسية للدالة لتحديد الأفقي horizontal asymptote.
• استخدام المبدأ الأساسي للحل المعادلات الجبرية في حل المعادلة الناتجة عن تقاطع الدالة مع الأفقي.