تحديد أقل تكلفة لبذور العشب (مسألة رياضيات)

تقوم مركز الحدائق ببيع نوع معين من بذور العشب في أكياس بوزن 5 رطل بسعر 13.80 دولار للحقيبة، وأكياس بوزن 10 رطل بسعر 20.43 دولار للحقيبة، وأكياس بوزن 25 رطل بسعر 32.25 دولار للحقيبة. إذا كان الزبون ينوي شراء على الأقل 65 رطلاً من بذور العشب، ولكن لا يزيد عن 80 رطلاً، فما هو أقل تكلفة ممكنة للبذور التي سيشتريها الزبون؟

للحساب الأمثل للتكلفة، يمكننا استخدام نوعيات مختلفة من الأكياس بحيث يتم الوصول إلى الحد الأدنى للتكلفة. لنقم بتجربة الأوزان المختلفة للحقائب ونحسب التكلفة الإجمالية لكل تجربة:

1. اشتر 13 حقيبة بوزن 5 رطل (13 * 5 = 65 رطل) بتكلفة 13.80 دولار للحقيبة، إجمالي التكلفة = 13 * 13.80 = 179.40 دولار.

2. اشتر 6 حقائب بوزن 10 رطل (6 * 10 = 60 رطل) بتكلفة 20.43 دولار للحقيبة، إجمالي التكلفة = 6 * 20.43 = 122.58 دولار.

3. اشتر 2 حقيبة بوزن 25 رطل (2 * 25 = 50 رطل) بتكلفة 32.25 دولار للحقيبة، إجمالي التكلفة = 2 * 32.25 = 64.50 دولار.

إذاً، الحل الأمثل هو شراء 6 حقائب بوزن 10 رطل بتكلفة إجمالية قدرها 122.58 دولار.

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالتكلفة والكميات. سنستخدم الأوزان المختلفة للأكياس ونحسب التكلفة الإجمالية لكل حالة. الهدف هو الوصول إلى أقل تكلفة ممكنة.

لنستخدم الرموز:

• $x$: عدد الأكياس بوزن 5 رطل
• $y$: عدد الأكياس بوزن 10 رطل
• $z$: عدد الأكياس بوزن 25 رطل

وفقًا لشروط المسألة:

1. $x + y + z \geq 65$ (على الأقل 65 رطل)
2. $x + y + z \leq 80$ (ولكن لا يزيد عن 80 رطل)

نحسب التكلفة الإجمالية باستخدام الأسعار المعطاة:
$\text{التكلفة الإجمالية} = 13.80x + 20.43y + 32.25z$

الهدف هو تحقيق أقل تكلفة، لذا سنقوم بتحسين الدالة الهدف عندما نحسب القيم المختلفة. سنقوم بحساب التكلفة للتجارب المختلفة:

1. $x = 13$ (13 حقيبة بوزن 5 رطل)
2. $y = 6$ (6 حقائب بوزن 10 رطل)
3. $z = 2$ (2 حقيبة بوزن 25 رطل)

باستخدام القوانين المذكورة وحساب القيم المذكورة، نجد أن التكلفة الإجمالية الأقل هي 122.58 دولار.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الحد الأدنى للكمية المطلوبة: $x + y + z \geq 65$
2. قانون الحد الأقصى للكمية المسموح بها: $x + y + z \leq 80$
3. الدالة الهدف: $\text{التكلفة الإجمالية} = 13.80x + 20.43y + 32.25z$

الحل:

• $x = 13$ حقيبة بوزن 5 رطل
• $y = 6$ حقائب بوزن 10 رطل
• $z = 2$ حقيبة بوزن 25 رطل

تكلفة الحل: 122.58 دولار.