تجزئة عدد إلى عوامله الأساسية: حل مسألة العامل الأولي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “ما هو أصغر عامل أولي للعدد $5^{23} + 7^{17}$؟”

لحل هذه المسألة، نقوم أولاً بتجزئة العدد إلى عوامله الأساسية. يمكننا كتابة العدد بالشكل التالي:

$5^{23} + 7^{17} = 5^{23} + (5^2)^8.$

الآن نستخدم تقنية التجزئة الفعالة لتجزئة هذا العدد:

$5^{23} + (5^2)^8 = 5^{23} + 5^{16}.$

نأخذ عاملاً مشتركًا وهو $5^{16}$ ونكتب العدد كالتالي:

$5^{23} + 5^{16} = 5^{16}(5^7 + 1).$

الآن، نرى أن العدد المعطى هو من مضاعفات $5^{16}$، ولذلك يكون أصغر عامل أولي له هو $5$.

إذاً، أصغر عامل أولي للعدد $5^{23} + 7^{17}$ هو $5$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفكيك العدد $5^{23} + 7^{17}$ إلى عوامله الأساسية باستخدام القوانين الجبرية. سنبدأ بتقسيم العدد إلى جزئين للتسهيل:

$5^{23} + 7^{17}.$

نرى أن لدينا عددين مختلفين في الأساس، لنقم بتجزئة كل واحد منهما بشكل منفصل. سنستخدم القاعدة الجبرية $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} – a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + b^{n-1})$ لتجزئة العدد:

$5^{23} + 7^{17} = 5^{16} \times 5^7 + 7^{17}.$

الآن سنقوم بتجزئة العدد الأول باستخدام القاعدة المذكورة:

$5^{16} \times 5^7 = 5^{16} \times (5^7 + 1 – 1).$

نستخدم القاعدة $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$ لتجزئة العدد $5^7 + 1$:

$5^7 + 1 = (5^7 + 1^7) = (5 + 1)(5^6 – 5^5 + 5^4 – \ldots – 1).$

لذلك، نقوم بتجزئة العدد الأول كالتالي:

$5^{16} \times (5^7 + 1 – 1) = 5^{16} \times (5 + 1)(5^6 – 5^5 + 5^4 – \ldots – 1).$

الآن نقوم بتجزئة العدد الثاني باستخدام القاعدة المذكورة:

$7^{17} = 7^{16} \times 7 = (7 + 1)(7^{15} – 7^{14} + \ldots – 1).$

لذلك، يمكننا كتابة العدد الكلي كمضاعفة العوامل السابقة:

$5^{23} + 7^{17} = 5^{16} \times (5 + 1)(5^6 – 5^5 + 5^4 – \ldots – 1) + 7^{16} \times (7 + 1)(7^{15} – 7^{14} + \ldمas – 1).$

الآن نقوم بتجزئة العدد الكلي بمجموعة عوامله الأساسية:

$5^{23} + 7^{17} = 5^{16} \times (5 + 1)(5^6 – 5^5 + 5^4 – \ldots – 1) + 7^{16} \times (7 + 1)(7^{15} – 7^{14} + \ldots – 1).$

المفتاح في هذا الحل هو استخدام القوانين الجبرية، بما في ذلك قاعدة التجزئة الجبرية وقاعدة الفرق بين مربعين، لتجزئة الأعداد وتقديمها على شكل عوامل أولية.