مسائل رياضيات

تبسيط كسر الجذر التربيعي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 04/03/2024
0

نريد تبسيط المقام في الكسر التالي:

12−1\frac{1}{\sqrt{2}-1}

لنقم بذلك باستخدام تقنية تضرب في وحدة النسب (متعامد الوحدة):

مواضيع ذات صلة

نبدأ بضرب الكسر في التكافؤ التالي:

2+12+1\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}

هذا التكافؤ يقوم بتحويل المقام والمعيار إلى عبارة بسيطة من خلال ضرب الكسر في الوحدة.

الآن نقوم بالضرب:

12−1×2+12+1=2+1(2−1)(2+1)\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} + 1)}

الآن نقوم بحساب المقام:

(2−1)(2+1)=(2)2−(1)2=2−1=1(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 – (1)^2 = 2 – 1 = 1

لذا المقام يتحول إلى 1.

وبالتالي، نصل إلى الجواب النهائي:

2+11=2+1\frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1

المزيد من المعلومات

لنقوم بحل المسألة وتبسيط المقام في الكسر 12−1\frac{1}{\sqrt{2}-1} بشكل مفصّل.

نستخدم في هذا الحل قاعدة “ضرب متعامد الوحدة”، والتي تقوم على فكرة أنه يمكننا ضرب الكسر في وحدة النسب والتي تكون متساوية للواحد. هذه العملية لا تغيّر قيمة الكسر لأننا نضرب فيه ونقسم على نفس العدد (الوحدة).

التكافؤ الذي نستخدمه هو (2+1)/(2+1)(\sqrt{2} + 1) / (\sqrt{2} + 1). هنا، نقوم بضرب الكسر في هذا التكافؤ للوصول إلى صيغة متساوية بسيطة.

عند الضرب، نستخدم قانون الضرب للجمع والطرح:

12−1×2+12+1\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}

ثم نستخدم قانون الضرب للتوسيع:

=2+1(2−1)(2+1)= \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} + 1)}

حيث قمنا بتوسيع المقام بالضرب في الوحدة مع التأكد من توسيع المعيار أيضًا.

ثم نقوم بحساب المقام:

(2−1)(2+1)=(2)2−(1)2=2−1=1(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 – (1)^2 = 2 – 1 = 1

وهنا، استخدمنا قانون الفرق بين مربعين.

نجد أن المقام يتحول إلى 1.

بالتالي، نكتب الكسر بشكل مبسط:

=2+11=2+1= \frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1

هذا هو الجواب النهائي، وقد استخدمنا في الحل قوانين الجبر مثل قانون الضرب والفرق بين مربعين للوصول إلى الإجابة بشكل مبسط.

اخر تحديث 04/03/2024
0