تبسيط التعبير الجذري: الجذر التربيعي المتدرج (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير التالي:
$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$

نبدأ بتبسيط الجذور. نعرف أن:
$\sqrt{\frac{1}{4096}} = \frac{1}{\sqrt{4096}} = \frac{1}{64}$

الآن، نحسب الجذر الثلاثي لـ $\frac{1}{64}$، وهو:
$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$

ثم، نحسب الجذر التربيعي لـ $\frac{1}{4}$، وهو:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

وأخيرًا، نحسب الجذر التربيعي لـ $\frac{1}{2}$، وهو:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

لذا، قيمة التعبير المعطى هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

لحل التعبير الرياضي: $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{4096}}}}$
سنستخدم مجموعة من الخطوات الرياضية والقوانين لتبسيطها إلى شكل أكثر بساطة.

1. الجذور والأسس: نبدأ بتحليل التعبير من الداخل للخارج، ونستخدم القوانين المتعلقة بالجذور والأسس. أولاً، نقوم بتبسيط $\frac{1}{4096}$ حيث نعلم أن $4096 = 2^{12}$، لذا:

   $$\sqrt{\frac{1}{4096}} = \frac{1}{\sqrt{4096}} = \frac{1}{64}$$

   حيث أن الجذر التربيعي لـ 4096 هو 64.

2. الجذور الثلاثية: نحسب الجذر الثلاثي للناتج السابق، وهو $\frac{1}{64}$. يتم ذلك بتركيب الجذر الثلاثي للعدد:

   $$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$$

   لأن $64 = 4^3$.

3. الجذور التربيعية: نحسب الجذر التربيعي للناتج السابق، وهو $\frac{1}{4}$. نستخدم قانون الجذور التربيعية:

   $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$$

   حيث أن الجذر التربيعي لـ 4 هو 2.

4. الجذور التربيعية مرة أخرى: نحسب الجذر التربيعي للناتج السابق، وهو $\frac{1}{2}$. نستخدم قانون الجذور التربيعية:

   $$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

بعد هذه الخطوات، وصلنا إلى النتيجة النهائية $\frac{\sqrt{2}}{2}$، التي تمثل قيمة التعبير المعطى.

القوانين المستخدمة:

• قانون الجذور والأسس.
• قوانين الجذور الثلاثية والتربيعية.
• قوانين الحساب الجبري الأساسية.