تبسيط الأسس باستخدام العدد الخيالي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: قيم المتغير $i$ المرفوع إلى الأس 22 مجموعة مع المتغير $i$ المرفوع إلى الأس 222.

الحل:

لفهم هذه المسألة، يجب أولاً أن نعلم أن $i$ هو وحدة خيالية تُعبّر عن الجذر التربيعي للعدد -1. بمعنى آخر، $i^2 = -1$. الآن، لنحسب القيمة المطلوبة:

1. $i^{22}$:
   يمكننا تقسيم الأس 22 على 4 لأن $i^4 = 1$ (نظراً لأن $i^2 = -1$). إذاً، $22 ÷ 4 = 5 والباقي 2$. لذا، $i^{22} = i^2 = -1$.

2. $i^{222}$:
   بنفس الطريقة، نقوم بتقسيم الأس 222 على 4. $222 ÷ 4 = 55 والباقي 2$. لذا، $i^{222} = i^2 = -1$.

الآن، نجمع النتائج:
$i^{22} + i^{222} = (-1) + (-1) = -2$

إذاً، قيمة المعادلة $i^{22} + i^{222}$ هي -2.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم قوانين الأسس والقوانين التي تتعلق بالعدد الخيالي $i$. هذه القوانين تساعدنا في تبسيط التعابير وحساب القيم بشكل فعّال. لنقم بتفصيل الحل وذكر القوانين المستخدمة:

1. قوانين الأسس:

   • $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: يساعد هذا القانون في حساب الأسس عندما يكون لدينا جمع للأسس.
   • $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: يساعد هذا القانون في حساب الأسس عندما يكون لدينا طرح للأسس.

2. الخصائص الخاصة بالعدد الخيالي $i$:

   • $i^2 = -1$: هذه هي الخاصية الرئيسية للعدد $i$، حيث يكون تربيعه يساوي -1.

الآن، لنقم بحساب المعادلة $i^{22} + i^{222}$:

حساب $i^{22}$:
يمكن تقسيم الأس 22 على 4 لأن $i^4 = 1$. إذاً، $22 ÷ 4 = 5 والباقي 2$. لذا، $i^{22} = i^2 = -1$.

حساب $i^{222}$:
بنفس الطريقة، نقوم بتقسيم الأس 222 على 4. $222 ÷ 4 = 55 والباقي 2$. لذا، $i^{222} = i^2 = -1$.

الآن، نجمع النتائج:
$i^{22} + i^{222} = (-1) + (-1) = -2$

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الأسس لتبسيط الأسس وتقسيم الأسس على 4 باستخدام خصائص العدد الخيالي $i$.