تأثير زيادة الارتفاع على حجم المخروط (مسألة رياضيات)

زادت الارتفاع الخاص بمخروط بنسبة 140٪. ما النسبة المئوية لزيادة حجمه؟

الحل:
لنقم بتحديد النسبة المئوية للزيادة في حجم المخروط عند زيادة ارتفاعه بنسبة 140٪.

نعلم أن حجم المخروط يتناسب مع مكعب الارتفاع. إذا كان الارتفاع الأصلي هو $h$ والنسبة المئوية للزيادة هي 140٪ ، فالارتفاع الجديد سيكون $h + 1.4h$ (حيث $1.4h$ هو زيادة بنسبة 140٪).

الآن نقوم بحساب حجم المخروط بعد الزيادة في الارتفاع. حجم المخروط يحسب بالصيغة:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة.

نظرًا لأننا لا نعلم القطر أو النصف القطر، سنستخدم متسقط القاعدة $l$ والذي يرتبط بنصف قطر القاعدة $r$ عبر العلاقة:
$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

نقوم بحساب القيمة الجديدة لمتسقط القاعدة بعد زيادة الارتفاع، وذلك باستخدام العلاقة:
$l_{\text{new}} = \sqrt{r^2 + (h + 1.4h)^2}$

ثم نحسب حجم المخروط بعد الزيادة في الارتفاع بواسطة الصيغة:
$V_{\text{new}} = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 1.4h)$

الآن، لحساب النسبة المئوية للزيادة في الحجم، نقوم بحساب الفارق بين الحجم الجديد والحجم الأصلي ونقسمه على الحجم الأصلي، ثم نضرب الناتج في 100 للحصول على النسبة المئوية:
$\text{النسبة المئوية للزيادة} = \frac{V_{\text{new}} – V}{V} \times 100$

يمكننا استخدام القيم المحسوبة لحساب النسبة المئوية للزيادة في حجم المخروط بعد زيادة الارتفاع بنسبة 140٪.

بالطبع، سنقوم الآن بتوسيع الحل وتوضيح الخطوات بمزيد من التفصيل، بالإضافة إلى ذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة:
زادت الارتفاع الخاص بمخروط بنسبة 140٪. ما النسبة المئوية لزيادة حجمه؟

الحل:
لنبدأ بتحديد القوانين المستخدمة في الحل:

1. صيغة حجم المخروط:
   $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

2. علاقة متسقط القاعدة بنصف قطر القاعدة:
   $l = \sqrt{r^2 + h^2}$

الآن، سنقوم بحساب القيم الجديدة بعد زيادة الارتفاع بنسبة 140٪.

1. الارتفاع الجديد:
   $h_{\text{new}} = h + 1.4h$

2. المتسقط الجديد للقاعدة:
   $l_{\text{new}} = \sqrt{r^2 + (h + 1.4h)^2}$

3. حجم المخروط بعد الزيادة في الارتفاع:
   $V_{\text{new}} = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 1.4h)$

الخطوة الأخيرة تكون حساب النسبة المئوية للزيادة في حجم المخروط، وذلك باستخدام الصيغة التالية:
$\text{النسبة المئوية للزيادة} = \frac{V_{\text{new}} – V}{V} \times 100$

قمنا باستخدام القوانين الرياضية المعتادة لحساب حجم المخروط والعلاقة بين متسقط القاعدة ونصف قطر القاعدة. النسبة المئوية للزيادة تستند إلى فارق الحجم بين المخروط بعد الزيادة في الارتفاع والمخروط الأصلي.

هذه الخطوات تعكس التفاصيل والقوانين المستخدمة في حل المسألة بشكل أكثر توضيحًا.