تأثير تغيير الأرقام: حساب المجموع الجبري (مسألة رياضيات)

إذا تم استبدال جميع الأرقام 6 بالرقم 9، فإن المجموع الجبري لجميع الأرقام من 1 إلى 100 (شاملاً الحدود) يتغير بمقدار معين. لحساب هذا التغيير، يمكننا استخدام القاعدة التي تنص على أن تأثير تغيير قيمة الرقم في المجموع الجبري يعتمد على الفارق بين القيمتين الأصلية والجديدة.

لنعيد صياغة المسألة بطريقة مختصرة:
إذا قمنا بتبديل جميع الأرقام 6 بالرقم 9، كم يتغير المجموع الجبري للأرقام من 1 إلى 100 (شاملاً الحدود)؟

الحل:
لحساب التغيير في المجموع الجبري، يجب علينا أولاً حساب المجموع الجبري الأصلي ومن ثم حساب المجموع الجديد بعد التبديل، وبعد ذلك نقوم بحساب الفارق بينهما.

المجموع الجبري الأصلي:
$S_{\text{أصلي}} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 100$

يمكننا استخدام الصيغة التقريبية لمجموع الأعداد الطبيعية للتسهيل في الحساب:
$S_{\text{أصلي}} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
حيث $n$ هو عدد الأعداد في المتسلسلة (في هذه الحالة 100).

ثم نقوم بحساب المجموع الجديد بعد التبديل:
$S_{\text{جديد}} = (1 \to 9) + (2 \to 9) + (3 \to 9) + \ldots + (100 \to 99)$

ثم نحسب التغيير بطرح المجموع الجديد من المجموع الأصلي:
$\text{التغيير} = S_{\text{جديد}} – S_{\text{أصلي}}$

نقوم بحساب القيم والتبديلات ونحسب الناتج النهائي للتغيير في المجموع الجبري.

لحل المسألة، سنقوم بالتفصيل في استخدام القوانين الرياضية والتعبيرات الجبرية. سنتبع الخطوات التالية:

1. حساب المجموع الجبري الأصلي:
   $S_{\text{أصلي}} = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2}$

هنا استخدمنا قاعدة مجموع الأعداد الطبيعية.

2. حساب المجموع الجديد بعد التبديل:
   $S_{\text{جديد}} = (1 \to 9) + (2 \to 9) + (3 \to 9) + \ldots + (100 \to 99)$

سنقوم بتحويل كل رقم 6 إلى 9 في المجموع الأصلي.

3. حساب التغيير في المجموع الجبري:
   $\text{التغيير} = S_{\text{جديد}} – S_{\text{أصلي}}$

4. تحديد القوانين المستخدمة:

   • قاعدة مجموع الأعداد الطبيعية: $S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
   • قاعدة تغيير الرقم: $\text{تغيير} = (\text{القيمة الجديدة} – \text{القيمة القديمة}) \times \text{عدد الأعداد}$

الآن سنقوم بتطبيق هذه الخطوات وحساب القيم:

$S_{\text{أصلي}} = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

لحساب المجموع الجديد، نقوم بتبديل جميع الأرقام 6 بالرقم 9:
$S_{\text{جديد}} = (1 \to 9) + (2 \to 9) + (3 \to 9) + \ldots + (100 \to 99)$

نقوم بحساب الفارق:
$\text{التغيير} = S_{\text{جديد}} – S_{\text{أصلي}}$

بهذا الشكل، نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين الرياضية المذكورة.