مسائل رياضيات

باقي قسمة $(r^{13} + 1)$ على $(r – 1)$: حلاً شاملاً (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 22/12/2023
0

المسألة الرياضية هي إيجاد باقي القسمة عند قسم $(r^{13} + 1)$ على $(r – 1)$.

لحل هذه المسألة، نقوم بتقسيم $(r^{13} + 1)$ على $(r – 1)$ باستخدام طريقة القسمة الطويلة. يمكننا توسيع $(r^{13} + 1)$ باستخدام قاعدة الأسس لتصبح:

مواضيع ذات صلة

r13+1=(r−1)(r12+r11+r10+…+r2+r+1)+2r^{13} + 1 = (r – 1)(r^{12} + r^{11} + r^{10} + \ldots + r^2 + r + 1) + 2

بمعنى آخر، يكون باقي القسمة هو 2. وبالتالي، إذا قسمنا $(r^{13} + 1)$ على $(r – 1)$، سيكون الباقي هو 2.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعونا نقوم بحساب القسمة باستخدام طريقة القسمة الطويلة للتأكد من الحل. لنقم بتقسيم $(r^{13} + 1)$ على $(r – 1)$:

نكتب $(r^{13} + 1)$ ونقسمها على $(r – 1)$:

r12+r11+r10+…+r2+r+1(r−1)\begin{array}{r|r} r^{12} + r^{11} + r^{10} + \ldots + r^2 + r + 1 & (r – 1) \\ \end{array}

الآن نقوم بتقسيم $r^{12}$ على $r$، ونضع الناتج في الجزء العلوي من القسمة:

r12+r11+r10+…+r2+r+1r−1\begin{array}{r|r} r^{12} + r^{11} + r^{10} + \ldots + r^2 + r + 1 & r – 1 \\ \end{array}
r13+r12\begin{array}{r|r} r^{13} + r^{12} & \\ \end{array}

نقوم بطرح $(r^{13} + r^{12}) – (r^{12} + r^{11})$، وهو يؤدي إلى $r^{13} – r^{11}$:

r13+r12r13−r11r11+1\begin{array}{r|r} r^{13} + r^{12} & \\ r^{13} – r^{11} & \\ \hline r^{11} + 1 & \\ \end{array}

نقوم بتقسيم $(r^{11} + 1)$ على $(r – 1)$:

r11+1(r−1)\begin{array}{r|r} r^{11} + 1 & (r – 1) \\ \end{array}
r11+1r−1r111\begin{array}{r|r} r^{11} + 1 & r – 1 \\ \hline r^{11} & 1 \\ \end{array}

الآن نكرر هذه العملية حتى نحصل على جميع المصطلحات:

r12+r11+r10+…+r2+r+1(r−1)\begin{array}{r|r} r^{12} + r^{11} + r^{10} + \ldots + r^2 + r + 1 & (r – 1) \\ \end{array}
r13+r12r13−r11r11+1\begin{array}{r|r} r^{13} + r^{12} & \\ r^{13} – r^{11} & \\ \hline r^{11} + 1 & \\ \end{array}
r11+1(r−1)\begin{array}{r|r} r^{11} + 1 & (r – 1) \\ \end{array}
r11+1r−1r111\begin{array}{r|r} r^{11} + 1 & r – 1 \\ \hline r^{11} & 1 \\ \end{array}
r10+1(r−1)\begin{array}{r|r} r^{10} + 1 & (r – 1) \\ \end{array}
r10+1r−1r101\begin{array}{r|r} r^{10} + 1 & r – 1 \\ \hline r^{10} & 1 \\ \end{array}

⋮\vdots

r2+1(r−1)\begin{array}{r|r} r^2 + 1 & (r – 1) \\ \end{array}
r2+1r−1r21\begin{array}{r|r} r^2 + 1 & r – 1 \\ \hline r^2 & 1 \\ \end{array}
r+1(r−1)\begin{array}{r|r} r + 1 & (r – 1) \\ \end{array}
r+1r−1r2\begin{array}{r|r} r + 1 & r – 1 \\ \hline r & 2 \\ \end{array}

بهذا نكون قد قسمنا $(r^{13} + 1)$ على $(r – 1)$ للحصول على باقي القسمة الذي هو 2. في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجمع والطرح للأسس لتسهيل الحسابات، وقوانين القسمة للأعداد الصحيحة.

اخر تحديث 22/12/2023
0