باقي قسمة 99^36 على 100 (مسألة رياضيات)

نريد حساب الباقي عندما يتم قسم $99^{36}$ على 100.

للعثور على هذا الباقي، يمكننا استخدام خوارزمية الفهرسة الهندسية. يعتمد هذا الأسلوب على تحويل الأسس واستخدام خواص الباقي للأعداد.

أولاً، لنرى ما إذا كان لدينا نمط من الأسس يمكن أن يساعدنا في هذه الحالة. نعلم أن 100 هو العدد الكامل الأكثر أهمية بالنسبة للأعداد التي تنتهي بصفرين.

نلاحظ أن $99^{36}$ عبارة عن آخر خانة من القسمة، لذا سنركز على آخر خانة من القوة التي هي 36.

يمكن كتابة $99$ كـ $100 – 1$. إذا، نقوم بتطبيق التوسيع الهندسي:

$(100 – 1)^{36}$

نستخدم متسلسلة بنوميال لتطوير هذا التعبير باستخدام القوى والمتسلسلة التي تنتج من تطبيقه:

$(100 – 1)^{36} = \binom{36}{0}100^{36}(-1)^0 + \binom{36}{1}100^{35}(-1)^1 + \ldots + \binom{36}{35}100^1(-1)^{35} + \binom{36}{36}100^0(-1)^{36}$

نلاحظ أن كل عبارة من هذه المتسلسلة ستنتهي بـ $100$، ما عدا العبارة الأخيرة التي تنتهي بـ $(-1)^{36}$.

لكن لاحظ أن $100$ تكون باقية $0$ عند القسمة على $100$، لذا يمكننا تجاهل كل شيء إلا العبارة الأخيرة.

العبارة الأخيرة هي:

$\binom{36}{36}100^0(-1)^{36} = (-1)^{36} = 1$

لأن أي قوة سالبة لـ $-1$ تعطي واحداً.

إذاً، الباقي عند قسم $99^{36}$ على $100$ هو $1$.

لحل مسألة حساب باقي القسمة عند تقسيم $99^{36}$ على 100، نستخدم مجموعة من الخواص والتقنيات الرياضية. سنستخدم القانون العام لفهرسة الأعداد، قانون التوسيع الهندسي، وقانون الباقي عند القسمة.

1. فهرسة الأعداد:
   تسمح فهرسة الأعداد بتحويل القوى إلى صورة أكثر قابلية للتعامل. على سبيل المثال، يمكن كتابة $99$ على شكل $(100 – 1)$.

2. قانون التوسيع الهندسي:
   يسمح قانون التوسيع الهندسي بتوسيع تعبيرات القوى باستخدام المتسلسلة الهندسية، حيث يمكننا توسيع $(a + b)^n$ إلى مجموعة من المصطلحات.

3. قانون الباقي عند القسمة:
   يشير قانون الباقي عند القسمة إلى أن الباقي عند قسم أي عدد على عدد آخر هو الفارق بينهما بعد القسمة.

الآن، دعنا نقوم بتفصيل الحل:

أولاً، نستخدم فهرسة الأعداد:

$99^{36} = (100 – 1)^{36}$

ثم، باستخدام قانون التوسيع الهندسي، نوسع العبارة:

$(100 – 1)^{36} = \binom{36}{0}100^{36}(-1)^0 + \binom{36}{1}100^{35}(-1)^1 + \ldots + \binom{36}{35}100^1(-1)^{35} + \binom{36}{36}100^0(-1)^{36}$

التي تتضمن كل مجموعات مصطلحات.

وأخيرًا، بما أننا نقوم بالقسمة على 100، فكل مصطلح في التوسيع الهندسي سوف ينتهي بالقوة 100، ما عدا العبارة الأخيرة التي تنتهي بـ $(-1)^{36}$.

وبما أن $100$ يمكن أن تكون مقسومة بشكل مباشر بدون باقي، فإننا نركز على العبارة الأخيرة فقط:

$\binom{36}{36}100^0(-1)^{36} = (-1)^{36} = 1$

وبالتالي، الباقي عند قسم $99^{36}$ على 100 هو 1.

يمكننا استخدام هذه الخواص الرياضية لحل مشكلات مماثلة في الرياضيات والعلوم الطبيعية.