باقي قسمة $2^{87} + 3$ على $7$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو الباقي عندما يتم قسم $2^{87} + 3$ على $7$؟

الحل:
لنقم بتحليل الترتيبات المتكررة لأعداد الأس المتعلقة بالأعداد الصحيحة عند القسمة على $7$ ونلاحظ النمط الذي يظهر:

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^4 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^5 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^6 \equiv 1 \pmod{7}$

وهكذا، نرى أن هناك نمطاً يتكرر كل ثلاثة أسرار. الآن نحن نعرف أن:

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$

بالتالي:

$2^{87} = (2^3)^{29} \equiv 1^{29} \equiv 1 \pmod{7}$

الآن، نحن نعرف أن:

$2^{87} + 3 \equiv 1 + 3 \equiv 4 \pmod{7}$

وبالتالي، الباقي عند قسم $2^{87} + 3$ على $7$ هو $4$.

لحل المسألة واستنباط الباقي عند قسم $2^{87} + 3$ على $7$، نستخدم مجموعة من القوانين والخصائص المتعلقة بالقسمة والترتيبات المتكررة للأعداد.

القوانين والخصائص المستخدمة:

1. قانون الترتيب الحسابي للقسمة: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ و $a – c \equiv b – d \pmod{m}$.

2. قانون الترتيب لأعداد الأس الصحيحة: إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ لأي عدد صحيح $n$.

3. دورة الأس الصحيحة: تتكرر القيم الباقية عند رفع عدد صحيح إلى قوة بعدد معين، وتكون الدورة للأس الصحيح هي أصغر عدد يبدأ النمط فيه.

بالتطبيق:

نبدأ بتحديد باقي $2^{87}$ عند القسمة على $7$. من القوانين المذكورة، نعرف أنه يمكن تحديد باقي $2^{87}$ بالاعتماد على دورة الأس الصحيحة.

نرى أنه عندما نقوم برفع $2$ إلى أي قوة، فإن الباقي يتبع نمطًا يتكرر كل ثلاثة أعداد. بالتالي، يمكننا كتابة:

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$

وهكذا. يتكرر هذا النمط. لذا، $2^{87}$ سيكون متساويًا للباقي عندما يقسم على $7$.

نستخدم القسمة الصحيحة لمعرفة باقي $2^{87}$ عند قسمه على $7$، ونجد أن $2^{87} \equiv 1 \pmod{7}$.

الآن، نضيف $3$ إلى $2^{87}$ للحصول على العدد الكامل $2^{87} + 3$، وبما أن $2^{87} \equiv 1 \pmod{7}$، فإن:

$2^{87} + 3 \equiv 1 + 3 \equiv 4 \pmod{7}$

وبالتالي، الباقي عند قسم $2^{87} + 3$ على $7$ هو $4$.