باقي قسمة وضرب الأعداد: حلول القسمة (مسألة رياضيات)

إذا كانت باقي قسمة $n$ على 3 يساوي 2، فما هو الباقي عند قسمة $5n$ على 3؟

لنحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل معنى الباقي عند القسمة. عند قسمة عدد صحيح على عدد آخر، يكون الباقي هو العدد الذي يتبقى بعد القسمة. مثلا، إذا قسمنا 10 على 3، سنجد أن الناتج يساوي 3 والباقي يساوي 1.

الآن، نعود إلى المسألة المعطاة. إذا كان الباقي عند قسمة $n$ على 3 يساوي 2، فهذا يعني أنه يمكن كتابة $n$ بالشكل التالي:

$n = 3k + 2$

حيث $k$ عدد صحيح يمثل المرات الكاملة التي يمكن أن يتم قسم $n$ عليها.

الآن، نريد أن نعرف الباقي عند قسم $5n$ على 3. لفعل ذلك، نقوم بتعويض قيمة $n$ في تعبير $5n$ ونرى ما الذي سيحصل:

$5n = 5(3k + 2)$

الآن نقوم بتوزيع الضرب:

$5n = 15k + 10$

الآن، لدينا تعبير ل $5n$ يمكننا استخدامه للتحقق من الباقي عند القسمة على 3. يمكننا كتابة $5n$ على النحو التالي:

$5n = 3(5k + 3) + 1$

حيث $5k + 3$ هو عدد صحيح آخر. ومن هنا، يمكننا أن نستنتج أن الباقي عند قسم $5n$ على 3 هو 1.

إذاً، الإجابة هي أن الباقي عند قسم $5n$ على 3 هو 1.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى فهم بعض القوانين الأساسية في الحساب العددي والقسمة، والتي سنطبقها في هذا السياق.

1. قانون القسمة الصحيحة: يقول هذا القانون إنه عند قسمة عدد صحيح على عدد آخر، يكون الناتج عدد صحيح وقد يكون هناك باقي أو بقية.

2. خواص الأعداد الصحيحة: في هذا السياق، نستخدم خواص الأعداد الصحيحة لفهم كيفية تأثير عمليات الجمع والضرب على الأعداد وباقي القسمة.

مع هذه القوانين في الاعتبار، دعونا نحل المسألة:

البداية: نفترض أن باقي قسمة $n$ على 3 هو 2. بمعنى آخر، $n$ يمكن كتابتها على الشكل التالي:

$n = 3k + 2$

حيث $k$ هو عدد صحيح.

الآن، نريد أن نحسب الباقي عندما نقوم بقسم $5n$ على 3. لفعل ذلك، نقوم بتوسيع تعبير $5n$:

$5n = 5(3k + 2)$

$= 15k + 10$

الآن، بما أن القسمة عادةً تكون متعلقة بالأعداد الصحيحة ولا تؤثر عليها عمليات الجمع والضرب، فإننا نتوقع أن يكون الباقي نفسه بعد عملية الضرب بواسطة 5. ومن الملاحظ أن باقي قسمة 10 على 3 يساوي 1.

لذا، باستخدام قانون القسمة الصحيحة، يمكننا كتابة:

$5n = 3(5k + 3) + 1$

حيث $5k + 3$ هو عدد صحيح آخر.

بالتالي، الباقي عند قسم $5n$ على 3 هو 1.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجمع والضرب وخاصية القسمة الصحيحة لفهم كيفية تأثير العمليات الحسابية على الباقي عند القسمة.