باقي جمع المتتالية: حل وتحليل (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد باقي الجمع $S = 1 – 2 + 3 – 4 + \cdots + 2009 – 2010$ عند قسمته على 2010.

لنقوم بترتيب الأعداد الموجبة والسالبة بالتبادل كالتالي:

$S = (1 – 2) + (3 – 4) + \cdots + (2009 – 2010)$

يمكننا ملاحظة أن كل زوج من الأعداد $(n, n+1)$ يؤدي إلى $n – (n+1) = -1$.

بالتالي، يمكن كتابة الجملة بشكل مبسط على النحو التالي:

$S = -1 – 1 – 1 – \cdots – 1$

حيث يكون لدينا 1005 عدد $-1$ في المجموع.

الآن نحسب ما إذا كان عدد الأعداد السالبة في $S$ يفوق عدد الأعداد الموجبة أم لا.

إذا كان لدينا عدد فردي من الأعداد السالبة، فإن الناتج سيكون سالبا. وإذا كان لدينا عدد زوجي من الأعداد السالبة، فإن الناتج سيكون موجبا.

في هذه الحالة، لدينا عدد زوجي من الأعداد السالبة، وبالتالي الناتج سيكون موجبا.

عدد الأعداد في الجملة هو 1005، لذلك نتوقع أن يكون الناتج موجبا.

لحساب الناتج، يتم ضرب عدد الأعداد في $S$ بقيمة العدد نفسه، أي $1005 \times -1 = -1005$.

إذاً، باقي الجمع $S$ عند قسمته على 2010 هو $-1005$.

لكن لنجعل الناتج إيجابيًا، يمكننا إضافة 2010 (المقام) للباقي السالب:

$-1005 + 2010 = 1005$

إذاً، الباقي عند قسمة $S$ على 2010 هو 1005.

لحل المسألة وإيجاد الباقي عند قسمة الجمع $S$ على 2010، يمكننا استخدام بعض القوانين والخصائص الرياضية:

1. قانون التوزيع: يمكن تطبيقه لتجميع الأعداد في الجملة وتحديد نمطها.

2. خواص الأعداد الزوجية والفردية: حيث إذا كان لدينا مجموع أعداد زوجية من الأعداد السالبة، فإن الناتج يكون موجبا، وإذا كان عددها فرديًا فإن الناتج يكون سالبا.

الآن، دعونا نقوم بالتحليل بالتفصيل:

المتتالية التي يتكون منها الجمع $S$ هي:

$S = 1 – 2 + 3 – 4 + \cdots + 2009 – 2010$

نلاحظ أن كل زوج من الأعداد $(n, n+1)$ يعطي الناتج $n – (n+1) = -1$.

لذا، يمكن تبسيط الجمع كالتالي:

$S = (1 – 2) + (3 – 4) + \cdots + (2009 – 2010)$

وهو يتحول إلى:

$S = -1 – 1 – 1 – \cdots – 1$

عدد الأعداد السالبة هو 1005، وكل واحدة منها تساوي $-1$.

نتأكد الآن مما إذا كانت النتيجة ستكون موجبة أو سالبة:

لدينا عدد فردي من الأعداد السالبة، وبالتالي نتوقع أن يكون الناتج سالبًا.

لحساب الباقي، يمكننا ضرب عدد الأعداد في $S$ بقيمة العدد نفسه، أي $1005 \times -1 = -1005$.

لكن لنجعل الناتج إيجابيًا، يمكننا إضافة 2010 (المقام) للباقي السالب:

$-1005 + 2010 = 1005$

إذاً، الباقي عند قسمة $S$ على 2010 هو 1005.

باختصار، استخدمنا قوانين الجمع وخواص الأعداد لتحليل المتتالية وتحديد نوعية الناتج (إيجابي أو سالب)، ثم قمنا بعملية الضرب والجمع للحصول على الباقي النهائي.