انعكاس النقطة عبر خط: حساب الميل والمعامل الثابت (مسألة رياضيات)

عندما يتم انعكاس النقطة ذات الإحداثيات (1، 1) عبر الخط y = mx + b ويكون للنقطة الناتجة إحداثيات (9، 5)، فإن قيمة m + b هي المطلوبة.

لنبدأ بكتابة المعادلة التي تمثل الانعكاس عبر الخط y = mx + b. إذا كانت النقطة الأصلية (x، y)، فإن النقطة المنعكسة (x’، y’) تكون متماثلة للنقطة الأصلية بالنسبة للخط y = mx + b. وبما أن الخط يمثل محور الانعكاس، فإن الخطوة الأولى هي العثور على النقطة التي تمثل الاقتران بالخط.

للحصول على النقطة المنعكسة، يجب أن نقوم بحساب المسافة بين النقطة الأصلية والخط، ومن ثم نعيد بناء النقطة على الجانب الآخر من الخط بنفس المسافة. للقيام بذلك، يجب أولاً أن نحسب الميل m للخط الذي يمثل الانعكاس، ومن ثم نستخدمه لحساب إحداثيات النقطة المنعكسة.

للعثور على الميل m، يمكننا استخدام النقطتين المعروفتين واستخدام صيغة الميل:

$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

حيث (x1، y1) و (x2، y2) هما النقطتين على الخط. بالتعويض بالقيم المعطاة، نحصل على:

$m = \frac{5 – 1}{9 – 1} = \frac{4}{8} = 0.5$

الآن، بمعرفة قيمة الميل m، يمكننا استخدام أي نقطة على الخط لحساب قيمة b. لنستخدم النقطة (1، 1):

$y = mx + b$
$1 = (0.5)(1) + b$
$b = 1 – 0.5 = 0.5$

لذا، القيمة المطلوبة m + b هي:

$m + b = 0.5 + 0.5 = 1$

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الانعكاس حول خط معين واستخدام المعادلات الخطية المتعلقة بالخطوط والنقاط.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. معادلة الميل والانحدار للخط: للحصول على ميل الخط الذي يمثل الانعكاس، نستخدم معادلة الميل والانحدار: $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ حيث (x1، y1) و (x2، y2) هما النقطتين على الخط.

2. معادلة خط مماس للانعكاس: بمعرفة الميل ونقطة على الخط، يمكننا استخدام معادلة الخط لتحديد المعامل اللامتغير b في المعادلة: $y = mx + b$

3. معادلة الانعكاس الخطية: عندما ننعكس نقطة عبر خط، يتم احتساب النقطة المنعكسة باستخدام المسافة بين النقطة والخط وإعادة بناء النقطة على الجانب الآخر من الخط بنفس المسافة.

الحل بالتفصيل:

1. نعرف الميل m للخط الذي يمثل الانعكاس باستخدام المعادلة التالية:

$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

حيث (x1، y1) = (1، 1) و (x2، y2) = (9، 5).

$m = \frac{5 – 1}{9 – 1} = \frac{4}{8} = 0.5$

2. بعد أن حصلنا على الميل m، نستخدم أحد نقاط الخط لحساب قيمة b في معادلة الخط، ونقوم بذلك باستخدام نقطة (1، 1) مثلاً:

$y = mx + b$
$1 = (0.5)(1) + b$
$b = 1 – 0.5 = 0.5$

3. بعد حساب قيمة b، نحصل على معادلة الخط الكاملة التي تمثل الانعكاس: $y = 0.5x + 0.5$

4. الآن، يمكننا استخدام هذه المعادلة لتحديد النقطة المنعكسة عبر الخط. إذا كانت النقطة الأصلية (1، 1)، فإن النقطة المنعكسة تكون على نفس المسافة من الخط وعلى الجانب المقابل. وبالتالي، يكون الإحداثيات الجديدة (9، 5).

5. بما أن النقطة (9، 5) تقع على الخط الذي يمثل الانعكاس، فإننا نستخدم المعادلة للتحقق:

$5 = 0.5(9) + 0.5$
$5 = 4.5 + 0.5$
$5 = 5$

وهذا يتطابق مع الموقع المنعكس المتوقع.

باختصار، قمنا بحساب الميل والمعامل b للخط الذي يمثل الانعكاس، ثم استخدمنا هذه المعلومات للعثور على النقطة المنعكسة عبر الخط.