العثور على أقصى قيمة لتعبير رياضي

نرغب في العثور على قيمة x التي تجعل قيمة التعبير x^2 – 10x + 16 أكبر داخل النطاق -7 إلى 7 (شاملاً).

لحل هذه المسألة، نقوم أولاً بحساب النقطة الحرجة حيث تكون المشتقة الأولى للتعبير تساوي صفرًا. سنستخدم ذلك لتحديد مكان القمة.

التعبير: $f(x) = x^2 – 10x + 16$

المشتقة الأولى: $f'(x) = 2x – 10$

نحسب المشتقة الأولى ونضعها تساوي صفرًا للعثور على القيمة الحرجة:
$2x – 10 = 0$

نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة x:
$2x = 10$
$x = 5$

لدينا الآن نقطة حرجة عند $x = 5$. الخطوة التالية هي التحقق من قيمة التعبير في الحدود المحددة -7 و 7 وكذلك في النقطة الحرجة:

1. $f(-7)$:
   $(-7)^2 – 10(-7) + 16 = 81$

2. $f(5)$:
   $(5)^2 – 10(5) + 16 = 1$

3. $f(7)$:
   $(7)^2 – 10(7) + 16 = 25$

نجد أن قيمة $f(5)$ هي الأصغر بين هذه القيم. إذاً، قيمة x التي تجعل $x^2 – 10x + 16$ أكبر في النطاق المحدد هي $x = 5$.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على قوانين الجبر وتفاصيل الرياضيات للوصول إلى الإجابة. سنقوم بحساب النقطة الحرجة حيث تكون المشتقة الأولى للتعبير مساوية لصفر، وذلك باستخدام قاعدة التفاضل. الهدف هو العثور على القيمة التي تجعل التعبير $x^2 – 10x + 16$ في أقصى قيمة له داخل النطاق المحدد.

لنبدأ بتحليل الخطوات:

1. التعبير الرياضي:
   $f(x) = x^2 – 10x + 16$

2. حساب المشتقة الأولى:
   $f'(x) = 2x – 10$

3. تحديد النقطة الحرجة (حيث $f'(x) = 0$):
   $2x – 10 = 0$

   حل المعادلة يعطي:
   $x = 5$

   لذا، النقطة الحرجة هي $x = 5$.

4. تحديد قيمة التعبير في الحدود والنقطة الحرجة:

   • $f(-7) = (-7)^2 – 10(-7) + 16 = 81$
   • $f(5) = (5)^2 – 10(5) + 16 = 1$
   • $f(7) = (7)^2 – 10(7) + 16 = 25$

5. تحليل النتائج:
   نجد أن قيمة $f(5)$ هي الأصغر بين هذه القيم، وهي تساوي 1.

باختصار، قمنا بحساب المشتقة الأولى للتعبير باستخدام قاعدة التفاضل وحل المعادلة للعثور على النقطة الحرجة. ثم، قمنا بتحديد قيم التعبير في الحدود وفي النقطة الحرجة لتحديد القيمة الأكبر. القانون المستخدم هو قانون تفاضل السلسلة (Chain Rule) لحساب المشتقة وقانون حل المعادلات لحل المعادلة وقانون تحديد نقطة القمة لتحديد القيمة الأكبر.