العامل الأولي الأكبر لتعبير 2^10 – 1

العمل على إيجاد أكبر عامل أولي للتعبير 2^10 – 1.

نبدأ بحساب 2^10 – 1:
$2^{10} – 1 = 1024 – 1 = 1023$

الخطوة التالية هي تحليل 1023 إلى عوامل أولية. نقسمه عند أقل عامل أولي ممكن، الذي يكون 3:

$1023 ÷ 3 = 341$

الآن نفحص 341، ونجد أن 11 هو أقل عامل أولي له:

$341 ÷ 11 = 31$

والآن، 31 هو عامل أولي، ولا يمكن تقسيمه أكثر. إذاً، أكبر عامل أولي للتعبير 2^10 – 1 هو 31.

سنقوم بحساب $2^{10} – 1$ والعثور على أكبر عامل أولي له. قبل الشروع في الحساب، دعونا نعيد التأكيد على قوانين الأعداد والأعداد الأولية التي سنستخدمها:

1. أساس الأعداد: في هذه المسألة، نستخدم الأساس 2 لأننا نعمل مع أسس الأعداد الباعثة.

2. صيغة الأسس العشري: $a^n – b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + b^{n-1})$. سنستخدم هذه الصيغة لتسهيل الحساب.

لنقم بحساب $2^{10} – 1$:
$2^{10} – 1 = 2^{10} – 1^{10}$

الآن، يمكننا استخدام صيغة الفارق بين مربعين:
$a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$

نستخدم هذه الصيغة مع $a = 2$ و $b = 1$:
$2^{10} – 1 = (2^5 – 1)(2^5 + 1)$

الآن نقوم بتقسيم القوس الأيسر باستخدام صيغة الفارق بين مكعبين:
$2^5 – 1 = (2^2 – 1)(2^3 + 2^2 + 2 + 1)$

$= (4 – 1)(8 + 4 + 2 + 1)$

$= 3 \times 15$

$= 45$

لذلك:
$2^{10} – 1 = 45 \times (2^5 + 1)$

الآن نرى أن $2^5 + 1$ يمكن أن يكون معبّرًا كذلك:
$2^5 + 1 = (2^2 – 1)(2^3 – 2^2 + 2 – 1)$

$= (4 – 1)(8 – 4 + 2 – 1)$

$= 3 \times 5$

$= 15$

إذًا:
$2^{10} – 1 = 45 \times 15$

الآن نقوم بالتحليل الأولي للناتج 675 إلى عوامل أولية:

$675 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$

أكبر عامل أولي هو 5. لذا، الإجابة هي أن أكبر عامل أولي لتعبير $2^{10} – 1$ هو 5، وقد تم حل المسألة باستخدام قوانين الأعداد والأسس.