الحل الأمثل لتعبير الكسور (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
اعتبر $x$ و $y$ و $z$ أعدادًا حقيقية موجبة، فما هو القيمة الدنيا للتعبير التالي:

الحل:
لحل هذه المسألة، سنستخدم تقنيات تفكيك وتجميع الكسور للتوصل إلى الحد الأدنى. لنبدأ بذلك:

نرمز إلى المتغيرات التالية:
$A = \frac{4z}{2x + y}$
$B = \frac{4x}{y + 2z}$
$C = \frac{y}{x + z}$

سنقوم بتجميع هذه الكسور في التعبير المعطى، ثم سنسعى لتبسيط الناتج.

لتجميع الكسور، نقوم بالعمليات التالية:
$A + B + C = \frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z}$

الآن، سنقوم بتوحيد المقامات للكسور الثلاثة، وذلك بضرب كل كسر في المقام المشترك للكسور الثلاثة، والذي يساوي حاصل ضرب مقاماتهما. وبعد ذلك، سنقوم بالتبسيط.

$A + B + C = \frac{4z(y + 2z) + 4x(2x + y) + y(2x + y)}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$

$= \frac{4zy + 8z^2 + 8x^2 + 4xy + 2xy + y^2}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$

$= \frac{8z^2 + 8x^2 + 6xy + y^2}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$

الآن، سنسعى للعثور على القيمة الدنيا لهذا التعبير. لذلك، سنقوم بحساب المشتقة الجزئية لكل متغير ونضعها تساوي صفر للعثور على النقاط المحتملة للحد الأدنى.

لذلك، نقوم بحساب المشتقات الجزئية:
$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{16x + 6y}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$
$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{8x + 2y + 6z}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$
$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{16z + 6y}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$

ثم نضع كل منها تساوي صفر، ونحل للعثور على قيم $(x, y, z)$ التي تقود إلى الحد الأدنى.

حللنا الحسابات الرياضية وجدنا النقطة التي يكون فيها الحد الأدنى هي
$x = y = z$
بعد حساب القيم نجد أن الحد الأدنى يساوي $\frac{7}{3}$

لحل المسألة وايجاد القيمة الدنيا للتعبير المعطى، سنستخدم الحساب التفاضلي والتحليلي. سنقوم بتوظيف عدة خطوات وقوانين في الحل، من بينها:

1. توحيد المقامات: نحن بحاجة إلى توحيد المقامات للكسور الثلاثة في التعبير.

2. تفكيك الكسور الجمعية: سنقوم بتفكيك الكسور الجمعية إلى كسور فردية لتسهيل عملية التحليل.

3. استخدام المشتقات الجزئية: سنحسب المشتقات الجزئية للتعبير الكلي بالنسبة لكل متغير.

4. حل المشتقات الجزئية: سنقوم بوضع المشتقات الجزئية مساوية للصفر وحلها للعثور على النقاط الحرجة.

5. التحقق من الحدود: سنتحقق من القيود المفروضة على المتغيرات، مثل الشروط الإيجابية للمتغيرات.

الآن، دعونا نبدأ الحل:

نعيد كتابة التعبير الكلي كالتالي:
$A = \frac{4z}{2x + y}, \quad B = \frac{4x}{y + 2z}, \quad C = \frac{y}{x + z}$

ثم نجمع الكسور للحصول على التعبير الكلي:
$A + B + C = \frac{4z}{2x + y} + \frac{4x}{y + 2z} + \frac{y}{x + z}$

نوحد المقامات:
$A + B + C = \frac{4z(y + 2z) + 4x(2x + y) + y(2x + y)}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$

ونقوم بالتبسيط للحصول على التعبير النهائي:
$A + B + C = \frac{8z^2 + 8x^2 + 6xy + y^2}{(2x + y)(y + 2z)(x + z)}$

الآن، سنحسب المشتقات الجزئية لهذا التعبير بالنسبة لكل متغير $x$ و $y$ و $z$.

بعد ذلك، سنحل المشتقات الجزئية ونجد القيم الحرجة.

سنقوم بالتحقق من القيود على المتغيرات لضمان أن القيم الحرجة تنطبق ضمن الظروف المعطاة.

بعد ذلك، سنقوم بحساب قيمة التعبير الكلي باستخدام القيم الحرجة ونجد القيمة الدنيا.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا الوصول إلى الحل الدقيق للمسألة وتحديد القيمة الدنيا للتعبير المعطى.