الحساب التحليلي: الحد الأدنى لتعبير الكسر (مسألة رياضيات)

للأعداد الحقيقية $x > 1$, نريد إيجاد القيمة الدنيا للتعبير التالي:
$\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}}.$

لحساب القيمة الدنيا، سنستخدم تقنيات الحساب التحليلي. للقيام بذلك، نبدأ بتحليل الكسر ونسعى لتبسيطه. يمكننا كتابة الجذر التربيعي بصورة معادلة بسيطة:
$\sqrt{x – 1} = (x – 1)^{1/2}.$

الآن، نعود للكسر الأصلي:
$\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}} = \frac{x + 8}{(x – 1)^{1/2}}.$

لتبسيط الكسر، يمكننا ضرب البسط والمقام في $(x – 1)^{1/2}$ للتخلص من الجذر في المقام:
$\frac{x + 8}{(x – 1)^{1/2}} \cdot \frac{(x – 1)^{1/2}}{(x – 1)^{1/2}} = \frac{(x + 8)(x – 1)^{1/2}}{x – 1}.$

الآن، يمكننا إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:
$\frac{(x + 8)(x – 1)^{1/2}}{x – 1} = \frac{x + 8}{1} \cdot \frac{(x – 1)^{1/2}}{(x – 1)^{1/2}} = x + 8.$

لدينا الآن تعبير أبسط للكسر الأصلي، وهو $x + 8$. يظهر أن قيمة الكسر لا تتأثر بقيمة $x$. بما أننا نبحث عن القيمة الدنيا، فإن القيمة الدنيا لهذا التعبير هي $x + 8$ عندما تكون $x$ أكبر.

لذا، القيمة الدنيا للتعبير هي $x + 8$. ونظرًا لأننا مقيدون بشرط $x > 1$, فإن القيمة الدنيا تحدث عند أصغر قيمة ممكنة لـ $x$، وهي $x = 1$.

إذاً، القيمة الدنيا للتعبير $\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}}$ هي $1 + 8 = 9$ وتحدث عند $x = 1$.

لحل المسألة، سنبدأ بتحليل التعبير $\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}}$ باستخدام تقنيات الحساب التحليلي. سنستخدم القوانين الرياضية والجبرية لتبسيط الكسر والوصول إلى تعبير أكثر بساطة.

المعطيات:
$\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}}$

1. نبدأ بتحليل الجذر:
   $\sqrt{x – 1} = (x – 1)^{1/2}$

2. نعود إلى الكسر الأصلي ونقوم بضرب البسط والمقام في $(x – 1)^{1/2}$ للتخلص من الجذر في المقام:
   $\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}} \cdot \frac{(x – 1)^{1/2}}{(x – 1)^{1/2}} = \frac{(x + 8)(x – 1)^{1/2}}{x – 1}$

3. نقوم بإلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:
   $\frac{(x + 8)(x – 1)^{1/2}}{x – 1} = \frac{x + 8}{1} \cdot \frac{(x – 1)^{1/2}}{(x – 1)^{1/2}} = x + 8$

4. نخلص إلى أن القيمة المبسطة للكسر هي $x + 8$.

القوانين المستخدمة:

• قانون الجذر: $\sqrt{x} = x^{1/2}$
• ضرب البسط والمقام في نفس العبارة: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{ac}{bc}$
• إلغاء العوامل المشتركة: $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ إذا كان $c \neq 0$

الآن، بما أن القيمة المبسطة للكسر هي $x + 8$، ونعلم أن $x > 1$، فإن القيمة الدنيا تحدث عندما تكون $x$ أقل. والقيمة الدنيا هي $1 + 8 = 9$، وتحدث عند $x = 1$.

لذا، القيمة الدنيا للتعبير $\frac{x + 8}{\sqrt{x – 1}}$ هي 9، وتحدث عند $x = 1$.