التحليل الرياضي: دالة غير محددة (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ تتبع العلاقة $f(x – y) = f(x) f(y)$ لجميع الأعداد الحقيقية $x$ و $y$، و $f(x) \neq 0$ لكل عدد حقيقي $x$. يُطلب منا حساب قيمة $f(3)$.

لحل هذه المسألة، دعونا نقوم بتحليل العلاقة المعطاة. لنبدأ بتطبيق العلاقة على بعض القيم:

1. عندما يكون $y = 0$:
   $f(x – 0) = f(x) f(0) \implies f(x) = f(x) f(0)$

2. بما أن $f(x)$ غير متساوية للصفر، يمكننا قسمة العلاقة السابقة على $f(x)$:
   $1 = f(0)$

إذاً، نحن نعلم أن $f(0) = 1$. الآن، لنستخدم هذه المعلومة لحساب $f(3)$:

$f(3) = f(3 – 0) = f(3) f(0)$

الآن نستخدم $f(0) = 1$:

$f(3) = f(3) \cdot 1$

بطرح $f(3)$ من الطرفين، نحصل على:

$0 = 0$

هذا يعني أن العلاقة المعطاة تتحقق لجميع القيم. وبالتالي، يمكننا أن نقول أن قيمة $f(3)$ لا يمكن حسابها بشكل محدد من المعطيات المعطاة.

لنقم بتحليل المسألة بمزيد من التفاصيل باستخدام القوانين الرياضية المطلوبة.

العلاقة المعطاة هي: $f(x – y) = f(x) f(y)$ ونعلم أيضاً أن $f(x) \neq 0$ لجميع الأعداد الحقيقية $x$. لنقم بحل المسألة، نستخدم القوانين الرياضية التالية:

1. القانون الأساسي للدوال اللوغاريتمية:
   $a^{b – c} = \frac{a^b}{a^c}$

2. تعريف اللوغاريتم الطبيعي:
   $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$

لنبدأ بتطبيق العلاقة المعطاة:

$f(x – y) = f(x) f(y)$

الآن، لنقم بتجسيد هذه العلاقة بواسطة اللوغاريتم الطبيعي:

$\ln(f(x – y)) = \ln(f(x)) + \ln(f(y))$

الآن، لنستخدم القانون الأساسي للدوال اللوغاريتمية لتحويل الطرف الأيسر:

$\ln(f(x – y)) = \ln(f(x)) + \ln(f(y))$

$\ln(f(x – y)) = \ln(f(x)f(y))$

الآن، لنقوم بتطبيق اللوغاريتم الطبيعي المعكوس للتخلص من اللوغاريتم من الطرفين:

$f(x – y) = f(x)f(y)$

وبهذه الطريقة، نعود إلى العلاقة الأصلية.

الآن نستخدم القيمة المعطاة $f(0) = 1$:

$f(3) = f(3 – 0) = f(3) \cdot f(0)$

نستخدم الآن $f(0) = 1$:

$f(3) = f(3) \cdot 1$

وببساطة:

$f(3) = f(3)$

هذا يشير إلى أن قيمة $f(3)$ لا يمكن تحديدها بشكل محدد باستخدام المعلومات المتاحة، وذلك بسبب الاعتماد على الدالة نفسها في المعادلة. لا يمكننا استنتاج قيمة محددة لـ $f(3)$ بناءً على الشروط المعطاة.