الباقي عند القسمة: حلول متقدمة (مسألة رياضيات)

عند قسمة عدد على 48 ، نحصل على باقي يساوي 29. إذا قسمنا نفس العدد على 8 ، فما هو الباقي؟

إعادة صياغة المسألة:
عند القسمة على 48، يكون باقي القسمة هو 29. إذاً، ما هو الباقي عند قسم نفس العدد على 8؟

حل المسألة:
لفهم كيف نجد الباقي عند القسمة على 8 بناءً على الباقي الذي حصلنا عليه عند القسمة على 48، نستخدم مفهوم القسمة والباقي.

فلنقم بتمثيل العدد الذي نقوم بقسمته على 48 بالرمز $N$. إذاً، عند القسمة على 48:

$N = 48a + 29$

حيث $a$ هو عدد صحيح يمثل مرات القسمة.

الآن نريد أن نعرف الباقي عند القسمة على 8. للقيام بذلك، نستخدم العلاقة التالية: الباقي عند القسمة على 48 هو نفس الباقي عند القسمة على 8.

$N \equiv 29 \pmod{8}$

هنا، $\equiv$ يعني “متساوي تمامًا” و $\pmod{8}$ يشير إلى القسمة على 8.

لحساب الباقي عند القسمة على 8، نستخدم العدد 29 الذي حصلنا عليه عند قسمة على 48. إذاً:

$29 \equiv x \pmod{8}$

نبدأ بتجريب الأعداد ونبحث عن القيمة التي تحقق هذه العلاقة. إذا قمنا بذلك، سنجد أن $29 \equiv 5 \pmod{8}$.

إذاً، الباقي عند قسم نفس العدد على 8 هو 5.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على قوانين القسمة والباقي. دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل أكثر ونذكر القوانين المستخدمة:

المسألة:
عند قسم عدد على 48، نحصل على باقي يساوي 29. إذا قسمنا نفس العدد على 8، فما هو الباقي؟

حل المسألة:

1. نفترض أن العدد الذي نقوم بقسمته على 48 هو $N$. يمكننا تمثيل ذلك بالعلاقة التالية:
   $N = 48a + 29$
   حيث $a$ هو عدد صحيح يمثل مرات القسمة.

2. نريد العثور على الباقي عند قسم نفس العدد على 8، ونعلم أن الباقي عند قسم عدد على 48 هو 29، لذلك:
   $N \equiv 29 \pmod{8}$

3. نقوم بتجريب القيم المختلفة للباقي عند القسمة على 8 حتى نجد القيمة المناسبة. يمكننا تمثيل هذه العملية بالعلاقة التالية:
   $29 \equiv x \pmod{8}$

   بالتجريب، نجد أن $29 \equiv 5 \pmod{8}$.

4. لذا، الباقي عند قسم نفس العدد على 8 هو 5.

القوانين المستخدمة:

1. قانون القسمة:
   إذا قمنا بقسم عدد على 48 وحصلنا على باقي 29، يمكننا تمثيل ذلك بالعلاقة:
   $N = 48a + 29$

2. قانون الباقي:
   عند القسمة على 8، نستخدم قانون الباقي للعثور على الباقي الذي يكون متساويًا للباقي الحاصل عند القسمة على 48.
   $N \equiv 29 \pmod{8}$

3. تجريب القيم:
   للعثور على القيمة المناسبة للباقي عند القسمة على 8، نقوم بتجريب الأعداد حتى نجد القيمة التي تحقق العلاقة:
   $29 \equiv x \pmod{8}$
   في هذه الحالة، تجريب يؤدي إلى $x = 5$.

بهذه الطريقة، نستنتج أن الباقي عند قسم نفس العدد على 8 هو 5.