اختيار فرق الرياضيات في المدرسة (مسألة رياضيات)

يتم اختيار فريق الرياضيات المؤلف من أربعة أعضاء في مدرسة بيكان ريدج الإعدادية من نادي الرياضيات، الذي يضم ثلاث فتيات وخمسة فتيان. كم عدد الفرق المختلفة التي يمكن اختيارها والتي تتكون من فتاتين وفتيين؟

لحساب عدد الفرق المختلفة التي يمكن اختيارها، يمكننا استخدام مبدأ الاختيار المتسلسل. أولاً، نحتاج إلى اختيار فتاتين من بين الفتيات الثلاثة، وهذا يمكن أن يحدث بـ “3 choose 2” طرق مختلفة.

“3 choose 2” يُعبر عن عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار فتاتين من بين الفتيات الثلاثة، وهو يُحسب بواسطة الصيغة التالية:

$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

ثم، نحتاج أيضًا لاختيار فتيين من بين الفتيان الخمسة، وهذا يمكن أن يحدث بـ “5 choose 2” طرق مختلفة.

“5 choose 2” يُعبر عن عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار فتيين من بين الفتيان الخمسة، ويُحسب بواسطة الصيغة التالية:

$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

بمجرد أن نحدد الفتاتين والفتيين، يمكننا تشكيل الفريق بـ 2 فتاة و 2 فتى بـ “3 choose 2” مرات “5 choose 2” مرات. لأن هذه العملية متسلسلة، نضرب العددين معًا للحصول على الإجابة النهائية:

$3 \times 10 = 30$

إذاً، يمكن اختيار 30 فريقًا مختلفًا مؤلفًا من فتاتين وفتيين من بين أعضاء نادي الرياضيات في مدرسة بيكان ريدج الإعدادية.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مبدأ الاختيار المتسلسل (Principle of Combination)، والذي يعتمد على مفهوم الاختيارات المتتالية.

قوانين ومفاهيم تستخدم في الحل:

1. مبدأ الاختيار المتسلسل (Principle of Combination): يستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر من مجموعة معينة.

2. صيغة الاختيارات (Combination Formula): تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار فئة معينة من عناصر من مجموعة أكبر، دون اهتمام بترتيب العناصر. صيغتها:
   $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
   حيث:

   • $n$ عدد العناصر الكلي في المجموعة.
   • $r$ عدد العناصر التي نريد اختيارها.

الآن، لحل المسألة:

نحتاج إلى اختيار فريق مكون من فتاتين وفتيين. أولاً، نحسب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار فتاتين من بين الفتيات الثلاثة. هذا يتم باستخدام صيغة الاختيارات:

$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

ثم، نحتاج أيضًا لاختيار فتيين من بين الفتيان الخمسة. نستخدم مرة أخرى صيغة الاختيارات:

$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

بمجرد أن نحدد الفتاتين والفتيين، يمكننا تشكيل الفريق بـ 2 فتاة و 2 فتى بـ 3 مرات 10 مرات لأن هذه العملية متسلسلة.

أخيرًا، نقوم بضرب النتائج معًا للحصول على الإجابة النهائية:

$3 \times 10 = 30$

إذاً، يمكن اختيار 30 فريقًا مختلفًا مؤلفًا من فتاتين وفتيين من بين أعضاء نادي الرياضيات في مدرسة بيكان ريدج الإعدادية.