اختيار الثنائيات في التشكيلة (مسألة رياضيات)

عدد لاعبات فريق الكرة الطائرة في مدرستنا 14 لاعبة، بما في ذلك مجموعة من الثلاثيات: أليسيا، أماندا، وآنا. كم طريقة يمكننا من خلالها اختيار 6 لاعبات أساسيات إذا كان من الضروري أن تكون إحدى الثلاثيات في التشكيلة الأساسية؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى التفكير في الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار 6 لاعبات من بين 14، مع الشرط أن يتم اختيار اثنتين من الثلاثيات.

أولاً، لنحسب كمية الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار اثنتين من الثلاثيات:
هناك 3 ثلاثيات، لذلك يمكننا اختيار 2 منها بـ 3 طرق، وهي:
(أليسيا، أماندا)، (أليسيا، آنا)، (أماندا، آنا).

الآن بعد اختيار الثلاثيات، نحتاج إلى اختيار 4 لاعبات إضافية من بين الـ 11 الباقيات. وهنا يمكننا استخدام الجمع المركب.

لدينا 11 لاعبة بينهم لاعبات الثلاثيات، لذا يمكننا اختيار 4 منهن بـ 11 اختيارًا.

إذاً، إجمالي عدد الطرق لاختيار الثنائيات واللاعبات الإضافية هو:
3 × 11 = 33

لكن هناك خطوة أخرى: يمكن ترتيب اللاعبات في التشكيلة بطرق مختلفة. وهنا ينبغي علينا أن نقسم عدد الطرق بعدد الترتيبات الممكنة للثلاثيات واللاعبات الإضافية.

يوجد 6 لاعبات في التشكيلة، لذا الترتيب الممكن لهن هو 6!

لذا، إجمالي عدد الطرق لاختيار 6 لاعبات بما في ذلك اثنتين من الثلاثيات هو:
33 × 6! = 33 × 720 = 23760

لذا، هناك 23760 طريقة ممكنة لاختيار 6 لاعبات من فريق الكرة الطائرة في مدرستك بشرط أن تكون اثنتين منهن من الثلاثيات.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الاحتمالات وقوانين الاحتمالات الأساسية، مثل قانون الضرب ومفهوم الترتيبات.

لنبدأ بتحليل المسألة:

1. اختيار الثلاثيات:
   لدينا 3 ثلاثيات ممكنة: (أليسيا، أماندا)، (أليسيا، آنا)، (أماندا، آنا).
   يمكننا اختيار أي ثنائية من هذه الثلاثيات بـ 3 طرق.

2. اختيار اللاعبات الإضافية:
   بعد اختيار الثلاثيات، نحتاج إلى اختيار 4 لاعبات إضافية من بين 11 لاعبة.
   هنا يتم استخدام قانون الاحتمالات والجمع المركب لاختيار 4 من 11، مما يعطينا 11 اختيار.

3. ترتيب اللاعبات:
   بمجرد اختيار الثنائيات واللاعبات الإضافية، يمكن ترتيب اللاعبات في التشكيلة. وعدد الترتيبات الممكنة لـ 6 لاعبات هو 6!.

الآن، لحساب الإجمالي، نقوم بضرب عدد الطرق لاختيار الثلاثيات (3) بعدد الطرق لاختيار اللاعبات الإضافية (11)، ثم نضرب الناتج بعدد الترتيبات الممكنة (6!). هذا ما يمكن تمثيله بالصيغة التالية:

عدد الطرق = عدد الثلاثيات × عدد اللاعبات الإضافية × عدد الترتيبات الممكنة

عدد الثلاثيات = 3
عدد اللاعبات الإضافية = 11
عدد الترتيبات الممكنة = 6!

بعد الحساب، نحصل على الإجابة النهائية.

إذا، تمثلت القوانين المستخدمة في الحل في:

1. قانون الضرب: لحساب عدد الطرق بتكرار اختيار الثنائيات مع اللاعبات الإضافية وترتيب اللاعبات في التشكيلة.
2. قانون الاحتمالات الجمعي المركب: لاختيار اللاعبات الإضافية من بين اللاعبات المتاحة.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة والعثور على عدد الطرق الممكنة لاختيار 6 لاعبات من الفريق، مع الشرط المحدد في المسألة.