احتمال توقف السهم على مناطق الدوار (مسألة رياضيات)

يتكون دوار لعبة من ثلاث مناطق مع وسمها بالترتيب $A$، $B$، و $C$. فإحتمال أن يتوقف السهم على المنطقة $A$ هو $\frac{1}{2}$، وعلى المنطقة $B$ هو $\frac{1}{5}$. نريد معرفة الاحتمالية لتوقف السهم على المنطقة $C$. لحساب هذه الاحتمالية، يجب أن نأخذ في الاعتبار أن مجموع احتماليات توقف السهم على جميع المناطق يساوي 1، لأن السهم يجب أن يتوقف على إحدى المناطق.

لنجد احتمال توقف السهم على المنطقة $C$، نستخدم المعادلة:

$P(A) + P(B) + P(C) = 1$

حيث:

• $P(A)$ هو احتمال توقف السهم على المنطقة $A$، وهو مساوٍ لـ $\frac{1}{2}$.
• $P(B)$ هو احتمال توقف السهم على المنطقة $B$، وهو مساوٍ لـ $\frac{1}{5}$.
• $P(C)$ هو الاحتمال الذي نبحث عنه.

بمعالجة المعادلة، نحصل على:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + P(C) = 1$

لحل المعادلة وإيجاد قيمة $P(C)$، نقوم بطرح مجموع الاحتماليات المعروفة من 1:

$P(C) = 1 – \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \right)$

$P(C) = 1 – \frac{7}{10}$

$P(C) = \frac{10}{10} – \frac{7}{10}$

$P(C) = \frac{3}{10}$

إذاً، الاحتمالية التي يتوقف فيها السهم على المنطقة $C$ هي $\frac{3}{10}$.

لحل المسألة، سنستخدم مبدأ الاحتمالات والقوانين المعروفة لحساب الاحتماليات. القوانين المستخدمة تشمل:

1. مبدأ جمع الاحتماليات: يقول هذا المبدأ إنه إذا كانت الأحداث متنافرة (أي لا يمكن حدوثها معًا)، فإن احتمالية حدوث أي منها تساوي مجموع احتماليات كل من الأحداث.

2. مبدأ أن مجموع احتماليات كل النواحي يساوي 1: يشير هذا المبدأ إلى أن إجمالي الاحتماليات لكل النواحي الممكنة لأي حدث يجب أن يساوي 1.

بناءً على هذه القوانين، نقوم بحل المسألة كالتالي:

نعرف أن احتمال توقف السهم على المنطقة $A$ هو $\frac{1}{2}$ وعلى المنطقة $B$ هو $\frac{1}{5}$.

لإيجاد احتمال توقف السهم على المنطقة $C$، نستخدم مبدأ جمع الاحتماليات:

$P(A) + P(B) + P(C) = 1$

حيث $P(A)$، $P(B)$، و $P(C)$ هي الاحتماليات المطلوبة لكل منطقة.

نعوض القيم المعطاة:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + P(C) = 1$

نقوم بحساب قيمة $P(C)$ عن طريق طرح مجموع الاحتماليات المعروفة من 1:

$P(C) = 1 – \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \right)$

$P(C) = 1 – \frac{7}{10}$

$P(C) = \frac{10}{10} – \frac{7}{10}$

$P(C) = \frac{3}{10}$

إذاً، الاحتمالية التي يتوقف فيها السهم على المنطقة $C$ هي $\frac{3}{10}$.