احتمال اختيار كرة حمراء أو بيضاء: حل وتفسير (مسألة رياضيات)

في حقيبة تحتوي على 30 كرة، منها 5 كرات زرقاء و9 كرات حمراء، والبقية بيضاء. إذا كان من المتوقع أن تقوم ليزا باختيار كرة عشوائية من الحقيبة، فما هي احتمالية أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء؟

الحل:
لحساب الاحتمالية، نستخدم الصيغة:

$P(\text{حمراء أو بيضاء}) = P(\text{حمراء}) + P(\text{بيضاء})$

حيث:
$P(\text{حمراء}) = \frac{\text{عدد الكرات الحمراء}}{\text{إجمالي عدد الكرات}}$
$P(\text{بيضاء}) = \frac{\text{عدد الكرات البيضاء}}{\text{إجمالي عدد الكرات}}$

نعلم أن هناك 9 كرات حمراء والكرات البيضاء هي الباقي. لذا:

$P(\text{حمراء}) = \frac{9}{30}$
$P(\text{بيضاء}) = \frac{\text{الكرات البيضاء (الباقي)}}{30}$

وبما أن إجمالي عدد الكرات هو 30، يمكننا حساب الكرات البيضاء عن طريق الفرق بين إجمالي عدد الكرات ومجموع الكرات الزرقاء والحمراء:

عدد الكرات البيضاء = العدد الإجمالي – (عدد الكرات الزرقاء + عدد الكرات الحمراء)
عدد الكرات البيضاء = 30 – (5 + 9) = 16

الآن نقوم بحساب $P(\text{حمراء أو بيضاء})$:

$P(\text{حمراء أو بيضاء}) = P(\text{حمراء}) + P(\text{بيضاء})$

$P(\text{حمراء أو بيضاء}) = \frac{9}{30} + \frac{16}{30}$

$P(\text{حمراء أو بيضاء}) = \frac{25}{30}$

المبسط:

$P(\text{حمراء أو بيضاء}) = \frac{5}{6}$

إذا كانت الاحتمالية أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء هي $\frac{5}{6}$.

لنقم بحساب احتمالية اختيار كرة حمراء أو بيضاء من الحقيبة، نستخدم القوانين الأساسية للاحتمالات. أولاً، لنعيد صياغة السؤال بشكل مختصر:

في حقيبة تحتوي على 30 كرة (5 زرقاء، 9 حمراء، والبقية بيضاء)، ما هي احتمالية أن تكون الكرة التي ستقوم ليزا باختيارها حمراء أو بيضاء؟

القوانين المستخدمة:

1. قانون الإجمال:
   إذا كانت $A$ و $B$ حوادث متعددة يمكن حدوثها معًا أو بشكل منفصل، فإن احتمال حدوث الحدثين معًا هو مجرد ضرب احتمال حدوث كل منهما على حدة.

   $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

2. قانون الاستبعاد:
   إذا كانت $A$ و $B$ حوادث متعددة يمكن حدوثها معًا، فإن احتمال حدوث أحد هذين الحدثين هو مجرد جمع احتماليات حدوث كل منهما على حدة، وذلك بدون انزلاق تكرار.

   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

حل المسألة:

1. حساب احتمال اختيار كرة حمراء:
   $P(\text{حمراء}) = \frac{\text{عدد الكرات الحمراء}}{\text{إجمالي عدد الكرات}} = \frac{9}{30}$

2. حساب عدد الكرات البيضاء:
   $\text{عدد الكرات البيضاء} = \text{إجمالي عدد الكرات} – (\text{عدد الكرات الزرقاء} + \text{عدد الكرات الحمراء})$
   $= 30 – (5 + 9) = 16$

3. حساب احتمال اختيار كرة بيضاء:
   $P(\text{بيضاء}) = \frac{\text{عدد الكرات البيضاء}}{\text{إجمالي عدد الكرات}} = \frac{16}{30}$

4. حساب احتمال اختيار كرة حمراء أو بيضاء:
   $P(\text{حمراء أو بيضاء}) = P(\text{حمراء}) + P(\text{بيضاء})$
   $= \frac{9}{30} + \frac{16}{30} = \frac{25}{30}$

5. تبسيط الناتج:
   $P(\text{حمراء أو بيضاء}) = \frac{5}{6}$

باختصار، الاحتمالية أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء هي $\frac{5}{6}$، وتم استخدام قوانين الإجمال والاستبعاد للوصول إلى هذا النتيجة.