احتمالية فشل سلسلة المصابيح الكهربائية

في سلسلة من 30 مصباحًا كهربائيًا، يكون التوصيل بحيث إذا فشل أي مصباح فإن السلسلة بأكملها ستفشل. إذا كانت احتمالية فشل أي مصباح فردي خلال الفترة الزمنية $t$ هي 0.1، فما هي احتمالية فشل السلسلة بأكملها خلال نفس الفترة؟

لنقم أولًا بحساب احتمالية عدم فشل أي مصباح خلال الفترة $t$، وهي $1 – 0.1 = 0.9$، لأنه إذا لم يفشل أي مصباح، فإن السلسلة ستظل تعمل.

الآن، لأن السلسلة ستظل تعمل إذا لم يفشل أي مصباح، فإن احتمالية عدم فشل السلسلة بأكملها خلال الفترة $t$ هي ناتج ضرب احتماليات عدم فشل كل مصباح فرديًا. لدينا 30 مصباحًا، لذا يمكننا استخدام الضرب كالتالي:

$P(\text{عدم فشل السلسلة}) = 0.9^{30}$

الآن يمكن حساب هذه القيمة باستخدام الآلة الحاسبة.

لحساب احتمالية فشل السلسلة من المصابيح، يمكننا الاعتماد على مبدأ الفشل المتزامن. وفي هذا السياق، إذا كانت السلسلة ستفشل، فإن أي مصباح في السلسلة يمكن أن يفشل وبالتالي سيؤدي إلى فشل السلسلة بأكملها. لذلك، يمكن استخدام القاعدة التالية:

$P(\text{فشل السلسلة}) = 1 – P(\text{عدم فشل السلسلة})$

الآن، لحساب احتمال عدم فشل السلسلة، يمكن استخدام قاعدة ضرب الاحتمالات للأحداث المستقلة. في هذه الحالة، نفترض أن فشل أي مصباح منفصل عن فشل الآخرين، وبالتالي:

$P(\text{عدم فشل السلسلة}) = P(\text{عدم فشل المصباح الأول}) \times P(\text{عدم فشل المصباح الثاني}) \times \ldots \times P(\text{عدم فشل المصباح الثلاثون})$

ونعلم أن:

$P(\text{عدم فشل المصباح}) = 1 – P(\text{فشل المصباح})$

وبما أن احتمال فشل المصباح هو 0.1، نحسب:

$P(\text{عدم فشل المصباح}) = 1 – 0.1 = 0.9$

ثم نقوم بحساب احتمال عدم فشل السلسلة باستخدام ضرب الاحتمالات:

$P(\text{عدم فشل السلسلة}) = 0.9^{30}$

وأخيرًا، يمكن استخدام القاعدة الأولى لحساب احتمال فشل السلسلة:

$P(\text{فشل السلسلة}) = 1 – P(\text{عدم فشل السلسلة})$

هذه القوانين تعتمد على فرضية استقلال فشل المصابيح والتوزيع الثابت لاحتمال فشلها خلال الفترة الزمنية $t$.