احتمالية سحب كرتين حمراوين (مسألة رياضيات)

يوجد في برطمان كرات حمراء عددها اثنتان، وكرات خضراء عددها ثلاث، وكرات بيضاء عددها عشر. يتم سحب كرتين عشوائياً من البرطمان بدون إعادة الكرات. ما هي احتمالية أن تكون كلتا الكرتين المسحوبتين حمراء؟

لنحسب الاحتمالية بالطريقة التالية:

أولاً، يوجد مجموع عدد الكرات في البرطمان:
$2 + 3 + 10 = 15$ كرة.

ثانياً، لحساب احتمالية سحب كرتين حمراوين، نقوم بتقسيم عدد الطرق التي يمكننا فيها سحب كرتين حمراوين على مجموع عدد الطرق الإجمالي لسحب كرتين من البرطمان.

لسحب الكرت الأول، لدينا 2 كرة حمراء من أصل 15 كرة.
لسحب الكرت الثاني، بعد أن تم سحب كرت أحمر، يبقى 14 كرة في البرطمان.

الاحتمالية = (عدد الطرق لسحب كرت أحمر) × (عدد الطرق لسحب كرت أحمر الثاني) / (مجموع عدد الطرق لسحب كرتين)

= (2/15) × (1/14)

= 2/210

= 1/105

إذاً، الاحتمالية أن تكون كلتا الكرتين المسحوبتين حمراء هي 1/105.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية وقوانين حساب الاحتمالات. القوانين المستخدمة هي قاعدة الضرب وقاعدة الجمع.

1. قاعدة الضرب:
   إذا كانت هناك سلسلة من الأحداث المتتالية، فإن احتمال حدوث السلسلة ككل يُحسب بضرب الاحتمالات لكل حدث في السلسلة.

2. قاعدة الجمع:
   إذا كان بإمكان حدوث حدثين منفصلين، فإن احتمالية حدوث أي منهما هي مجموع احتماليات كل حدث.

الآن، دعنا نحسب الاحتمالية لسحب كلتا الكرات الحمراء:

أولاً، الاحتمالية لسحب الكرة الأولى وهي حمراء:
$P(\text{Red 1}) = \frac{2}{15}$

بعد سحب كرة حمراء واحدة، تبقى 14 كرة في البرطمان، منها 1 كرة حمراء.

ثانياً، الاحتمالية لسحب الكرة الثانية وهي حمراء:
$P(\text{Red 2 | Red 1}) = \frac{1}{14}$

الآن، باستخدام قاعدة الضرب، نضرب الاحتماليات معاً للحصول على الاحتمالية الكلية لسحب كلتا الكرات الحمراء:

$P(\text{Both Red}) = P(\text{Red 1}) \times P(\text{Red 2 | Red 1})$

$= \frac{2}{15} \times \frac{1}{14} = \frac{2}{15 \times 14} = \frac{2}{210} = \frac{1}{105}$

إذاً، الاحتمالية أن تكون كلتا الكرتين المسحوبتين حمراء هي $\frac{1}{105}$.