احتمالية جين وألبرت في لجنة MBA (مسألة رياضيات)

في إحدى الجامعات، هناك 6 طلاب يدرسون لنيل درجة الماجستير في إدارة الأعمال في السنة الثانية. يتعين تشكيل لجنتين لقبول الطلاب في البرنامج، حيث يتكون كل فريق من 3 أعضاء تم اختيارهم بشكل عشوائي. نريد حساب احتمال أن تكون “جين” و “ألبرت” في نفس اللجنة.

لحساب هذا الاحتمال، يمكننا استخدام مبدأ الاحتمالات. عدد الطرق التي يمكن أن يتم فيها اختيار 3 أعضاء من بين 6 هو 6! / (3! * (6-3)!)، حيث “!” تعني العامل التشغيلي (الفاكتوريال). وعدد الطرق التي يمكن فيها اختيار “جين” و “ألبرت” في نفس اللجنة هو 4! / (2! * (4-2)!).

الاحتمال معين كما يلي:
$P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = \frac{{\text{عدد الطرق لاختيار جين وألبرت في نفس اللجنة}}}{{\text{عدد الطرق الإجمالي لاختيار لجنة}}}$

$P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = \frac{{\frac{4!}{2!(4-2)!}}}{{\frac{6!}{3!(6-3)!}}}$

$P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = \frac{{6}}{{20}}$

$P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = 0.3$

إذا كانت اللجان تشكل بشكل عشوائي، فإن احتمال أن تكون “جين” و “ألبرت” في نفس اللجنة هو 0.3.

لنقم بحساب الاحتمال بشكل أكثر تفصيلاً، سنستخدم مبدأ الاحتمالات والقوانين المتعلقة بالاحتمالات.

معلومات الإعطاء:

• يوجد 6 طلاب ماجستير إدارة الأعمال في السنة الثانية.
• يتم تشكيل لجنتين من 3 أعضاء كل منها.

المطلوب:

• حساب احتمال أن يكون “جين” و “ألبرت” في نفس اللجنة.

الحل:

1. حساب عدد الطرق لاختيار لجنة:
   يمكننا حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار لجنة من 3 أعضاء من بين 6 على النحو التالي:
   $\text{عدد الطرق الإجمالي} = \frac{6!}{3!(6-3)!}$

2. حساب عدد الطرق لاختيار “جين” و “ألبرت” في نفس اللجنة:
   نحتاج إلى حساب عدد الطرق لاختيار “جين” و “ألبرت” في نفس اللجنة. يمكننا اختيار جين وألبرت من بين 6 بالترتيب، ولكن يجب علينا تقسيمها على 2! لأن النظام مهم:
   $\text{عدد الطرق لاختيار جين وألبرت في نفس اللجنة} = \frac{4!}{2!(4-2)!}$

3. حساب الاحتمال:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب الاحتمال:
   $P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار جين وألبرت في نفس اللجنة}}{\text{عدد الطرق الإجمالي لاختيار لجنة}}$

   $P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = \frac{\frac{4!}{2!(4-2)!}}{\frac{6!}{3!(6-3)!}}$

   بعد الحسابات:
   $P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = \frac{6}{20}$

   وأخيراً:
   $P(\text{جين وألبرت في نفس اللجنة}) = 0.3$

القوانين المستخدمة:

• مبدأ الاحتمالات: يستخدم لحساب الاحتمالات في حالات الاحتمالات المتعددة.
• صيغة الاحتمال: $P(A) = \frac{\text{عدد الحالات المحببة}}{\text{عدد الحالات الإجمالي}}$
• صيغة الجمع (التكرار): $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1$