احتمالية تكوين رمز 10 حروف مع ‘i’ متجاورتين (مسألة رياضيات)

المسألة:
عند تشكيل رمز عشوائي يتكون من 10 أحرف، باستخدام الحروف a، b، c، d، e، f، g، h، i، و i (حيث يتم استخدام الحرف “i” مرتين)، ما هو احتمال أن يتم تكوين رمز يحتوي على الحروف “i” المتكررة متجاورتين؟

الحل:
لحساب الاحتمال، نبدأ بحساب عدد الطرق الممكنة لتكوين رمز من 10 أحرف مع الشرط المحدد. نعلم أن هناك حرف “i” متاح مرتين ويجب أن يكونا متجاورين. لدينا تسعة مواقع مختلفة يمكن أن يحتل فيها الحرف “i” أي منها، لذا لدينا 9 خيارات.

الآن، بما أن الحرف “i” يجب أن يكون متجاورًا، فإن هناك طريقتين فقط لتحقيق ذلك على أي من الأماكن التسعة، يمكن أن يكون الحرف “i” الأول على اليمين أو الحرف “i” الثاني على اليمين.

إذاً، عدد الطرق الممكنة لتكوين الرمز بحيث يكون الحرف “i” متجاورًا هو:
$9 \times 2 = 18$

الآن، نحسب إجمالي عدد الطرق الممكنة لتكوين رمز بطول 10 حروف من بين الحروف المعطاة، وهو:
$10!$

أخيراً، نقوم بحساب الاحتمال باستخدام الصيغة:
$P = \frac{\text{عدد الطرق الممكنة لتكوين الرمز بالشرط المحدد}}{\text{إجمالي عدد الطرق الممكنة لتكوين الرمز}}$

$P = \frac{18}{10!}$

وبعد الحسابات، يمكننا تبسيط النسبة للوصول إلى الإجابة النهائية.

$P = \frac{1}{362880}$

لحساب احتمالية تكوين رمز من 10 أحرف مع الشرط المحدد، نستخدم مفهوم الكشف (permutation) والقوانين المتعلقة بحساب الطرق الممكنة لترتيب العناصر. في هذه المسألة، نستخدم قاعدة الكشف وقاعدة الجمع.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الكشف (Permutation Rule):
   إذا كان لدينا مجموعة من $n$ عناصر مختلفة، ونريد ترتيب $r$ عنصرًا منها، فإن عدد الطرق الممكنة للترتيب هو $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$.

2. قاعدة الجمع (Addition Rule):
   إذا كان يمكن تحقيق هدف مع واحد من بين عدة طرق، فإن الإجمال عبارة عن مجموع هذه الطرق.

تفاصيل الحل:

1. حساب عدد الطرق لوضع الحروف:
   لدينا 10 حروف، بما في ذلك حرف “i” مرتين. لذا، عدد الطرق لوضع هذه الحروف هو $10!$.

2. حساب عدد الطرق لجعل “i” متجاورتين:
   لدينا 9 مواقع مختلفة يمكن أن يحتل فيها الحرف “i” الأول، وهناك 2 طرق فقط لتحقيق ذلك (الحرف “i” الثاني على اليمين أو الحرف “i” الثاني على اليسار). لذا، عدد الطرق لجعل “i” متجاورتين هو $9 \times 2 = 18$.

3. حساب الاحتمالية:
   نستخدم قاعدة الجمع لجمع الطرق الممكنة لوضع الحروف مع الشرط المحدد. الاحتمالية تكون:
   $P = \frac{\text{عدد الطرق لجعل “i” متجاورتين}}{\text{عدد الطرق لوضع الحروف}} = \frac{18}{10!}$

4. التبسيط:
   نبسط الكسر للحصول على الإجابة النهائية.

هذا الحل يعتمد على فهم قوانين الكشف والجمع واستخدامها بشكل صحيح لحساب الطرق الممكنة وتحديد الاحتمالية.