احتمالية الصدق لأفراد A و B (مسألة رياضيات)

إذا كانت A تقول الحقيقة بنسبة 40%، و B تقول الحقيقة بنسبة 80%، فما هي الاحتمالية التي يقول فيها أحدهما على الأقل الحقيقة؟

لنقم بحساب ذلك. لنستخدم القاعدة الرياضية للإحتمالات:

إذا كانت P(A) هي احتمالية أن يقول A الحقيقة و P(B) هي احتمالية أن يقول B الحقيقة، فإن احتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة هي:

$P(\text{A أو B}) = P(A) + P(B) – P(A و B)$

حيث P(A و B) هي احتمالية أن يقولوا الاثنان الحقيقة في نفس الوقت.

لحساب P(A) و P(B)، نستخدم الصيغ التالية:

$P(A) = 0.4$
$P(B) = 0.8$

ونعلم أن P(A و B) يمكن حسابها باستخدام الضرب لأن الحدثين مستقلين:

$P(A و B) = P(A) \times P(B)$

$P(A و B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$

الآن يمكننا حساب P(A أو B):

$P(\text{A أو B}) = 0.4 + 0.8 – 0.32 = 0.88$

إذا كانت الاحتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة هي 0.88، أي 88%.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين حساب الاحتمالات. القوانين الرئيسية المستخدمة هي:

1. قاعدة الجمع (Addition Rule): تستخدم لحساب احتمالية حدوث أحد الأحداث عندما يكون لدينا اثنين أو أكثر من الأحداث المتناقضة.

$P(A \text{ أو } B) = P(A) + P(B) – P(A \text{ و } B)$

2. قاعدة الضرب (Multiplication Rule): تستخدم لحساب احتمالية حدوث اثنين أو أكثر من الأحداث المستقلة.

$P(A \text{ و } B) = P(A) \times P(B)$

الآن، دعونا نحل المسألة:

المعطيات:
$P(A) = 0.4$
$P(B) = 0.8$

نحسب احتمالية أن يقولوا الاثنان الحقيقة في نفس الوقت باستخدام قاعدة الضرب:
$P(A \text{ و } B) = P(A) \times P(B)$
$P(A \text{ و } B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$

ثم نستخدم قاعدة الجمع لحساب احتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة:
$P(\text{A أو B}) = P(A) + P(B) – P(A \text{ و } B)$
$P(\text{A أو B}) = 0.4 + 0.8 – 0.32 = 0.88$

إذا كانت الاحتمالية أن يقول أحدهما الحقيقة هي 0.88، أي 88%.