احتمالية اختيار مكعبين مرسوم وغير مرسوم (مسألة رياضيات)

نفترض أن القالب الكبير المكون من 64 مكعبًا والذي يتكون من 4 مكعبات في كل جانب، تم رسم وجهين متقابلين باللون الأزرق. ثم يتم تفكيك هذا القالب إلى مكعبات فردية.

لنحسب قيمة المتغير X، نحتاج إلى معرفة كم عدد المكعبات التي لا تحمل أي وجه مرسوم، أو بمعنى آخر، عدد المكعبات التي تحمل صفر وجوه مرسومة.

الوجوه المرسومة هي الوجهين المتقابلين للمكعب الكبير، وهما 2 وجه.

عدد المكعبات التي تحمل وجهين مرسومين يمكن حسابها بطريقة التالية:

• كل جانب من الأوجه الأربعة للمكعب الكبير يحمل وجهًا مرسومًا، لذا عدد الوجوه المرسومة هو 4.
• لكننا نحتاج إلى استبعاد الوجهين المشتركين بين المكعبين، لذلك نقوم بطرح الوجهين المشتركين مرة واحدة من العدد الإجمالي للوجوه المرسومة، وهما 2.
• بالتالي، عدد الوجوه المرسومة هو 4 – 2 = 2.

عدد المكعبات التي تحمل صفر وجوه مرسومة هو:
عدد الوجوه الكلي للمكعب الكبير – عدد الوجوه المرسومة = 6 – 2 = 4.

لحساب قيمة المتغير X، نضيف عدد الوجوه المرسومة وعدد الوجوه غير المرسومة:
X = 2 + 4 = 6.

الآن، لحساب الاحتمالية المطلوبة، يمكننا استخدام القواعد الأساسية للإحتمال:

احتمالية اختيار مكعب له وجهين مرسومين ومكعب ليس له وجوه مرسومة:
= (عدد المكعبات ذات الوجهين المرسومين * عدد المكعبات بدون وجوه مرسومة) / (إجمالي عدد الاختيارات)
= (2 * 4) / (64 choose 2).

علميا، “n choose k” يمثل عدد الطرق الممكنة لاختيار k عناصر من بين n عناصر، ويُحسب كالتالي:
$n \choose k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث “! “تعني عامليالت فاكتوريال.

بعد الحساب، نجد أن:
$64 \choose 2 = \frac{64!}{2!(64-2)!} = \frac{64 * 63}{2} = 2016$

وبالتالي:
$الاحتمالية = \frac{2 * 4}{2016} = \frac{8}{2016} = \frac{1}{252}$

إذاً، الاحتمالية الصحيحة هي $\frac{1}{252}$، وليست $\frac{1}{14}$ كما هو مذكور في السؤال. لكن إذا كنا نفترض أن الاحتمالية الصحيحة هي $\frac{1}{252}$، فإن قيمة المتغير X تبقى كما هي، وهي 6 مكعبات.

لحل المسألة، سنقوم بتطبيق قوانين الإحتمالات ونستخدم المفهوم الأساسي للإحتمالات والتوزيع الثنائي. سنستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة العدّ: نستخدم هذه القاعدة لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث حدث معين.

2. قانون الإحتمالات: نستخدم هذا القانون لحساب الإحتمالية لحدوث حدث معين، وهو نسبة عدد النتائج المرجحة للحدث المطلوب إلى عدد كل النتائج الممكنة.

فلنقم بحل المسألة خطوة بخطوة:

1. محددات المسألة:

   • المكعب الكبير مكون من 64 مكعب صغير.
   • وجهان متقابلان من المكعب الكبير مرسومان باللون الأزرق.
   • نريد حساب الاحتمالية لاختيار مكعبين صغيرين بحيث يكون أحدهما له وجهان مرسومان والآخر بدون أي وجه مرسوم.

2. حساب الوجوه المرسومة وغير المرسومة:

   • عدد الوجوه المرسومة: 2 وجه (الوجهان المتقابلان).
   • عدد الوجوه غير المرسومة: 6 وجوه (6 – 2 = 4).

3. حساب عدد الاختيارات:

   • عدد الاختيارات لاختيار مكعبين من بين 64 مكعبًا هو 64 اختيار للمكعب الأول و 63 اختيار للمكعب الثاني، بما في ذلك الوجوه المشتركة.

4. حساب الاحتمالية:

   • عدد النتائج المرجحة: (2 وجه مرسوم) × (4 وجوه غير مرسومة) = 8.
   • عدد كل النتائج الممكنة: $64 \times 63$ (اختيار مكعبين من بين 64 مكعبًا).
   • إذاً، الاحتمالية = $\frac{8}{64 \times 63}$.

5. بسبب أن الاحتمالية المعطاة في السؤال هي $\frac{1}{14}$، يجب أن نراجع الحسابات:

   • $\frac{8}{64 \times 63}$ = $\frac{1}{126}$ وليس $\frac{1}{14}$.

6. إذاً، قيمة المتغير X ليست مهمة في هذه الحالة، لأن الاحتمالية المعطاة في السؤال غير صحيحة.

باختصار، نستخدم قوانين الإحتمالات لتحديد الاحتمالية المطلوبة، ونراجع الحسابات بناءً على الإحتمالية المعطاة في السؤال. في هذه المسألة، وجدنا أن الإحتمالية المصححة هي $\frac{1}{126}$ بدلاً من $\frac{1}{14}$ كما هو مذكور في السؤال.