احتمالية اختيار مصباح معيب

يحتوي صندوق على 21 مصباحًا كهربائيًا، من بينها 4 معيبة. يتم اختيار مصباحين بشكل عشوائي من هذا الصندوق. فإن احتمالية أن يكون واحد على الأقل من هذين المصباحين معيبًا تُعبر عنها كالتالي:

لنجد هذه الاحتمالية، يمكننا استخدام الاحتمالية المعاكسة، حيث أن احتمال أن لا يكون أي من المصابيح المختارة معيبًا يساوي الاحتمال المتبقي من الوحدة. لنحسب هذا الاحتمال:

احتمال أن يكون المصباح الأول غير معيب = (عدد المصابيح غير المعيبة) / (إجمالي عدد المصابيح) = (21 – 4) / 21 = 17 / 21

الآن، بما أن الاختيار يتم بدون استبعاد أو استبدال، فإن احتمال أن يكون المصباح الثاني غير معيب أيضًا يكون مشابهًا للاحتمال الذي حسبناه للمصباح الأول.

احتمال أن يكون المصباح الثاني غير معيب = (17 – 1) / 20

الآن، لحساب الاحتمال المعاكس، نطرح هذا الاحتمال من الوحدة:

احتمال أن يكون الاثنان معيبين = 1 – (احتمال أن يكون المصباح الأول غير معيب * احتمال أن يكون المصباح الثاني غير معيب)

= 1 – (17 / 21 * 16 / 20)

= 1 – (17/21 * 4/5)

= 1 – (68 / 105)

= 37 / 105

إذاً، الاحتمالية أن يكون واحد على الأقل من المصابيح المختارة معيبًا هي 37 / 105.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمال وبعض القوانين المرتبطة به. القوانين الرئيسية المستخدمة هي قاعدة الضرب وقاعدة الجمع.

المعلومات:

• عدد المصابيح الكلي في الصندوق = 21.
• عدد المصابيح المعيبة = 4.

قاعدة الضرب:
إذا كان لدينا سلسلة من الأحداث المستقلة، فإن احتمال حدوث هذه الأحداث معًا يحسب بضرب احتمالات حدوث كل حدث على حدة.

قاعدة الجمع:
إذا كان لدينا اثنين من الأحداث المتنافرة (مثل “معيب” و”غير معيب”)، فإن احتمال حدوث إحداهما يُحسب بجمع احتمالات كل حدث.

الحل:

نريد حساب احتمال أن يكون واحد على الأقل من المصابيح المختارة معيبًا.

1. حساب احتمال أن يكون المصباح الأول غير معيب:

   • عدد المصابيح غير المعيبة = 21 – 4 = 17.
   • احتمال أن يكون المصباح الأول غير معيب = عدد المصابيح غير المعيبة / إجمالي عدد المصابيح = 17 / 21.

2. حساب احتمال أن يكون المصباح الثاني غير معيب:

   • بما أن الاختيار يتم بدون استبعاد أو استبدال، فإن عدد المصابيح يصبح 20.
   • احتمال أن يكون المصباح الثاني غير معيب = (عدد المصابيح غير المعيبة – 1) / (إجمالي عدد المصابيح – 1) = 16 / 20.

3. حساب احتمال أن يكون الاثنان معيبين باستخدام قاعدة الضرب:

   • احتمال أن يكون الاثنان معيبين = احتمال أن يكون المصباح الأول غير معيب * احتمال أن يكون المصباح الثاني غير معيب.

4. حساب الاحتمال المعاكس:

   • احتمال أن يكون واحد على الأقل من المصابيح المختارة معيبًا = 1 – احتمال أن يكون الاثنان معيبين.

التوضيح الشامل لهذه الخطوات يبرز استخدام قوانين الاحتمال وقاعدة الضرب والجمع في حل المسألة.