احتمالية اختيار حذاءين متشابهين: حلول وتفاصيل (مسألة رياضيات)

داخل صندوق يحتوي على 7 أزواج من الأحذية (إجمالاً 14 حذاء). إذا تم اختيار حذاءين عشوائيين، ما هي احتمالية أن يكونوا حذاءين متشابهين؟

صياغة المسألة:

في هذا السياق، يتمثل الحذاء الواحد من الأزواج السبعة بحذاء مماثل، وبالتالي يكون لدينا 7 أنواع مختلفة من الأحذية في الصندوق.

حل المسألة:

لحساب احتمالية اختيار حذاءين متشابهين، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين من الصندوق وكم من هذه الطرق تؤدي إلى اختيار حذاءين متشابهين.

1. عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين:
   يمكن اختيار الحذاء الأول من بين 14 حذاءً، والحذاء الثاني من بين الأحذية المتبقية (13 حذاءً)، لذا عدد الطرق هو 14 × 13.

2. عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين:
   يمكن اختيار أي حذاء من الصندوق كحذاء أول (7 خيارات)، والحذاء المتشابه معه كحذاء ثاني (1 خيار). لذا عدد الطرق هو 7 × 1.

حساب الاحتمالية:

الاحتمالية تحسب كنسبة عدد الطرق الناجحة إلى عدد الطرق الممكنة.

$P(\text{متشابه}) = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين}}{\text{عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين}}$

$P(\text{متشابه}) = \frac{7 \times 1}{14 \times 13}$

$P(\text{متشابه}) = \frac{7}{91}$

الاحتمالية النهائية هي $\frac{7}{91}$، وهي الإجابة على المسألة.

تفاصيل الحل:

1. عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين:

   • يمكن اختيار الحذاء الأول من بين 14 حذاءً.
   • الحذاء الثاني يمكن اختياره من بين الأحذية المتبقية (13 حذاءً).
   • لذا عدد الطرق هو $14 \times 13$.

2. عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين:

   • يمكن اختيار أي حذاء من الصندوق كحذاء أول (7 خيارات).
   • الحذاء المتشابه معه يمكن اختياره كحذاء ثاني (1 خيار).
   • لذا عدد الطرق هو $7 \times 1$.

استخدام القوانين:

1. قانون الضرب:

   • يستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث أحداث متعددة متتالية.
   • في هذه المسألة، استخدمناه لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين.

2. قانون الاحتمال:

   • يستخدم لحساب الاحتمالية لحدوث حدث معين.
   • في هذه المسألة، استخدمناه لحساب احتمالية اختيار حذاءين متشابهين.

حساب الاحتمالية:

$P(\text{متشابه}) = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين}}{\text{عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين}}$

$P(\text{متشابه}) = \frac{7 \times 1}{14 \times 13}$

$P(\text{متشابه}) = \frac{7}{91}$

النقاط الهامة:

• التماثل: في هذه المسألة، استخدمنا التماثل بين الأحذية في الأزواج لتبسيط الحسابات وتحديد عدد الأحذية المختلفة.

• الدقة في الحسابات: قمنا بتفصيل الخطوات لضمان دقة الحسابات وفهم العلاقات بين الأحداث المختلفة.

• التحقق من الإجابة: يمكن التحقق من الإجابة بواسطة تبسيط الكسر المكون من الإجابة للتأكد من أنه يمكن تقسيمه على العدد الإجمالي للطرق الممكنة للاختيار.

بهذا الشكل، يتم توضيح الخطوات والقوانين المستخدمة في حل المسألة بشكل دقيق ومفصل.