احتمالات سقوط المطر في عطلة نهاية الأسبوع (مسألة رياضيات)

إذا كان من المتوقع أن تمطر بمعدل احتمال $40%$ يوم السبت وباحتمال $X$ يوم الأحد، ونفترض أن هذه الاحتمالات مستقلة، فما هي احتمالية أن تمطر خلال نهاية الأسبوع؟ لنقم بحساب هذه الاحتمالية.

يمكننا استخدام مفهوم الاحتمالية المتكافئة لحساب الاحتمالية المطلوبة، حيث نستخدم الناتج المكمل لعدم تساقط الأمطار على الإطلاق في العطلة.

لذا، احتمالية عدم سقوط المطر في يوم السبت هي $1 – 0.40 = 0.60$، واحتمالية عدم سقوط المطر في يوم الأحد هي $1 – X$. وبما أن الأيام مستقلة، يمكننا ضرب الاحتمالين معًا للحصول على احتمالية عدم سقوط المطر في اليومين:

$P(\text{No Rain}) = (1 – 0.40) \times (1 – X) = 0.60 \times (1 – X)$

الآن، يمكننا استخدام الناتج المكمل (الاحتمالية المعاكسة) للحصول على احتمالية سقوط المطر على الأقل في أحد الأيام:

$P(\text{Rain on at least one day}) = 1 – P(\text{No Rain})$
$= 1 – 0.60 \times (1 – X)$

ووفقًا للسؤال، هذا الناتج يعادل $70%$، أي:

$1 – 0.60 \times (1 – X) = 0.70$

لحل هذه المعادلة والعثور على قيمة $X$، يمكننا استخدام الحساب التالي:

$0.60 \times (1 – X) = 0.30$
$1 – X = \frac{0.30}{0.60} = 0.5$
$X = 1 – 0.5 = 0.5$

إذاً، قيمة المتغير $X$ تساوي $0.5$، وهي الاحتمالية المتوقعة لسقوط المطر في يوم الأحد.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم الاحتمالات والقوانين المتعلقة بها. هذه القوانين تشمل:

1. قانون الاحتمالات للحوادث المستقلة: إذا كانت حوادث مختلفة مستقلة عن بعضها، فيمكننا حساب احتمالية حدوث الحوادث بضرب احتمالات حدوث كل منها.

2. الناتج المكمل: إذا كان بإمكاننا حساب الناتج المكمل لحدث ما (مثل عدم حدوث حادث معين)، يمكننا من ثم استخدامه لحساب الحدث المعاكس.

تطبيقاً على المسألة:

• استخدمنا قانون الاحتمالات لحوادث مستقلة لحساب احتمالية عدم سقوط المطر في نهاية الأسبوع. للقيام بذلك، ضربنا احتمالية عدم سقوط المطر في كل يوم (السبت والأحد) معًا.
• بعد ذلك، استخدمنا الناتج المكمل لحساب الاحتمالية المطلوبة، أي احتمالية سقوط المطر على الأقل في يوم واحد خلال العطلة.

بعد حساب هذه القيم، حللنا المعادلة للعثور على القيمة المجهولة لاحتمالية سقوط المطر في يوم الأحد.

باستخدام هذه القوانين، قمنا بالحسابات اللازمة ووصلنا إلى الإجابة المطلوبة، وهي أن قيمة المتغير X هي 0.5، أي أن هناك احتمالية بنسبة 50% أن يمطر يوم الأحد.