أكبر قوة عددية دون تجاوز 399 (مسألة رياضيات)

عندما نبحث عن أكبر قيمة للعبارة $a^b$ التي تكون أقل من 399، مع العلم أن كل من $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة إيجابية، وأن $b > 1$، فما مجموع $a$ و $b$؟

لنبدأ بحساب أكبر قيمة ممكنة لـ $a$ و $b$ معاً. نريد أن نجد أكبر قيمة لـ $a^b$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة إيجابية و $b > 1$.

لنقم بتجربة بعض القيم لـ $b$ لنرى كيف يمكننا الوصول إلى أقرب قيمة أقل من 399:

1. عند $b = 2$، نحصل على $a^2$، حيث يكون $a^2 < 399$، لذا $a < \sqrt{399} \approx 19.97$، وهذا يعني أن $a$ يمكن أن تكون 1 إلى 19.
2. عند $b = 3$، نحصل على $a^3$، حيث يكون $a^3 < 399$، لذا $a < \sqrt[3]{399} \approx 7.37$، وهذا يعني أن $a$ يمكن أن تكون 1 إلى 7.
3. عند $b = 4$، نحصل على $a^4$، حيث يكون $a^4 < 399$، لذا $a < \sqrt[4]{399} \approx 4.75$، وهذا يعني أن $a$ يمكن أن تكون 1 إلى 4.
4. وهكذا نستمر في التجريب حتى نجد القيمة الأمثل.

الآن لدينا معلومات عن النطاقات المحتملة لـ $a$ و $b$، ونحن بحاجة فقط للبحث عن القيمة القصوى. لكل قيمة ممكنة لـ $a$، نحن نختبر أكبر قيمة ممكنة لـ $b$ حيث $a^b < 399$.

لنقم بذلك:

1. لل $a = 1$، يمكن أن يكون $b = 1$، لأن $1^1 = 1 < 399$.
2. لل $a = 2$، يمكن أن يكون $b = 6$، لأن $2^6 = 64 < 399$.
3. لل $a = 3$، يمكن أن يكون $b = 4$، لأن $3^4 = 81 < 399$.
4. لل $a = 4$، يمكن أن يكون $b = 3$، لأن $4^3 = 64 < 399$.
5. لل $a = 5$، يمكن أن يكون $b = 3$، لأن $5^3 = 125 < 399$.
6. لل $a = 6$، يمكن أن يكون $b = 2$، لأن $6^2 = 36 < 399$.
7. لل $a = 7$، يمكن أن يكون $b = 2$، لأن $7^2 = 49 < 399$.
8. لل $a = 8$، يمكن أن يكون $b = 2$، لأن $8^2 = 64 < 399$.
9. لل $a = 9$، يمكن أن يكون $b = 2$، لأن $9^2 = 81 < 399$.

لذا، القيمة الأكبر التي تقل عن 399 هي $9^2 = 81$، وبالتالي، مجموع $a$ و $b$ هو $9 + 2 = 11$.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى البحث عن أكبر قيمة لعبارة $a^b$ التي تكون أقل من 399، حيث $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة إيجابية، و $b > 1$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل تتضمن:

1. قانون الأسس: ينص هذا القانون على أن عبارة $a^b$ تمثل عدداً يتم ضرب $a$ في نفسه $b$ مرات.
2. التجريب والخطأ: نستخدم هذه الطريقة لتجريب قيم مختلفة لـ $a$ و $b$ حتى نحصل على أكبر قيمة لعبارة $a^b$ التي تكون أقل من 399.
3. النطاقات المحتملة: نستخدم النطاقات المحتملة لـ $a$ و $b$ لتحديد القيم الممكنة لكل منهما.

الآن، لنقم بتحليل المسألة بتفصيل أكبر:

1. نبدأ بالبحث عن أكبر قيم ممكنة لـ $a$ و $b$ بشكل منفصل.
2. لحساب الحد الأعلى لقيمة $a$، نستخدم جذر 399 لأننا نبحث عن أكبر عدد صحيح أقل من 399.
3. لحساب الحد الأعلى لقيمة $b$، نقوم بتجربة الأسس المتتالية حتى نجد أقرب قيمة تحت 399.

بعد التجريب واستخدام الحسابات، نجد أن القيمة الأكبر التي تحقق الشرط هي $9^2 = 81$، والتي تعطينا مجموع $a$ و $b$ هو $9 + 2 = 11$.

بهذا، تم حل المسألة باستخدام قوانين الأسس والتجريب والخطأ للعثور على القيم الصحيحة لـ $a$ و $b$ التي تحقق الشرط المطلوب في المسألة.