مسائل رياضيات

أكبر عدد مرسين أولي تحت 200 (مسألة رياضيات)

مسألة:
العدد الأولي مرسين هو العدد الأولي الذي يأخذ شكل $2^n – 1$، حيث يجب أن يكون العدد n نفسه عددًا أوليًا. على سبيل المثال، نظرًا لأن $2^3 – 1 = 7$، و 3 هو عدد أولي، يعتبر 7 عددًا أوليًا من نوع مرسين. ما هو أكبر عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200؟

حل:
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فحص جميع القيم الممكنة لـ n حتى نجد أكبر عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200. أولاً وقبل كل شيء، يجب أن نحدد الأعداد الأولية في هذا النطاق.

نبدأ بتحديد الأعداد الأولية أقل من 200. نعلم أن الأعداد الأولية هي الأعداد التي لا يمكن قسمها على أي عدد سوى 1 ونفسها. لذلك، نقوم بفحص الأعداد من 2 إلى 199 لنرى أيها منها هي أعداد أولية.

الأعداد الأولية في هذا النطاق هي:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

الآن، سنقوم بفحص كل قيمة ممكنة لـ n في التعبير $2^n – 1$ ونتحقق مما إذا كانت الناتجة هي أعداد أولية أيضا. سنبدأ بأكبر قيمة لـ n وننقصها تدريجيا.

نبدأ بـ n = 199:
$2^{199} – 1$

ثم ننتقل إلى n = 197:
$2^{197} – 1$

نستمر بهذه الطريقة حتى نجد أول عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200. يجدر بالذكر أن هذه العملية يمكن أن تكون مكلفة من الناحية الحسابية، ولكنها الطريقة الوحيدة للتحقق بشكل كامل.

بمتابعة الفحص، سيكون الحل كالتالي:
$2^3 – 1 = 7$ (عدد أولي)
$2^7 – 1 = 127$ (عدد أولي)
$2^{31} – 1$ (أكبر عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200)

إذا كان السؤال يتعلق بالبحث عن العدد الأولي من نوع مرسين، فإن الإجابة هي $2^{31} – 1$ وهو الأكبر والذي يقل عن 200.

المزيد من المعلومات

في هذه المسألة، نقوم بالبحث عن أكبر عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200. لفهم الحل بمزيد من التفصيل، سنقوم بتوضيح الخطوات والقوانين المستخدمة.

الخطوة 1: تحديد الأعداد الأولية
نبدأ بتحديد الأعداد الأولية في النطاق من 2 إلى 199. يمكن العثور على الأعداد الأولية عن طريق فحص كل عدد في هذا النطاق والتحقق مما إذا كان هو عدد أولي أم لا.

القانون المستخدم:

  • العدد الأولي هو العدد الذي لا يمكن قسمه على أي عدد سوى 1 ونفسه.

الخطوة 2: تحديد قيمة n
نحن بحاجة إلى البحث عن قيمة n في التعبير $2^n – 1$ بحيث يكون الناتج عدد أولي من نوع مرسين وأقل من 200. نبدأ بأكبر قيمة لـ n وننقصها تدريجيا.

القانون المستخدم:

  • قاعدة مرسين تتطلب أن يكون n عددًا أوليًا لكي يكون الناتج عددًا أوليًا من نوع مرسين.

الخطوة 3: التحقق من النتائج
نحتاج إلى التحقق من كل قيمة ممكنة لـ n في التعبير $2^n – 1$ لنرى ما إذا كان الناتج عددًا أوليًا أم لا.

القانون المستخدم:

  • التحقق من أن $2^n – 1$ هو عدد أولي.

الخطوة 4: الوصول إلى الإجابة
نستمر في التحقق حتى نجد أول عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200.

القانون المستخدم:

  • الإجابة هي أول عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200.

الإجابة:
بناءً على الفحص، نجد أن أكبر عدد أولي من نوع مرسين أقل من 200 هو $2^{31} – 1$.

هذا هو الحل بشكل عام، حيث تم استخدام مفاهيم الأعداد الأولية، وقوانين الأعداد الأولية، وقوانين أعداد مرسين للوصول إلى الإجابة.