أقصى مساحة مستطيل: حلول الرياضيات (مسألة رياضيات)

سنفترض أن طول الضلع الأطول للمستطيل يكون $x$ بوصة، وأن العرض يكون $y$ بوصة. للعثور على المساحة، يمكننا استخدام العلاقة:

$\text{المساحة} = \text{الطول} \times \text{العرض}$

والمعطيات التي لدينا هي أن محيط المستطيل يساوي 24 بوصة، ويمكننا كتابة هذه المعلومة بمعادلة:

$2x + 2y = 24$

الآن سنقوم بحل هذه المعادلة للحصول على عبارة منفصلة عن أحد الأبعاد. سنبدأ بحل معادلة المحيط للحصول على تعبير عن العرض بالتالي:

$2x + 2y = 24$
$2y = 24 – 2x$
$y = 12 – x$

الآن نستخدم هذا التعبير لتعويض قيمة $y$ في العلاقة لحساب المساحة:

$\text{المساحة} = x \times (12 – x)$
$\text{المساحة} = 12x – x^2$

لحساب القيمة القصوى للمساحة، نبحث عن نقطة القصوى لهذه الدالة. لحسن الحظ، يمكننا القيام بذلك باستخدام التفاضل.

$\frac{dA}{dx} = 12 – 2x$

ثم نجعل التفاضل يساوي الصفر لإيجاد النقطة القصوى:

$12 – 2x = 0$
$2x = 12$
$x = 6$

الآن، بمعرفة $x$ يمكننا حساب قيمة $y$:

$y = 12 – x = 12 – 6 = 6$

إذا، أبعاد المستطيل التي تؤدي إلى أقصى مساحة هي $6 \times 6$ بوصة. وبالتالي، المساحة القصوى ستكون:

$\text{المساحة} = 6 \times 6 = 36 \, \text{بوصة مربعة}$

في هذه المسألة، نحن نعرف أن لدينا مستطيل بحيث يكون له محيط معين ونحتاج إلى حساب أقصى مساحة ممكنة لهذا المستطيل. سنستخدم الرياضيات والجبر لحل هذه المسألة.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون محيط المستطيل: يقول إن محيط المستطيل يساوي مجموع أطوال جميع أضلاعه، ويمكن تمثيل هذا بالعلاقة $2L + 2W = P$ حيث $L$ هو الطول، $W$ هو العرض، و $P$ هو المحيط.

2. قانون المساحة للمستطيل: المساحة للمستطيل هي حاصل ضرب الطول في العرض، أو بشكل رياضي $A = L \times W$.

لنقم بالخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. تمثيل المتغيرات: نقوم بتمثيل الطول والعرض للمستطيل بالمتغيرات $L$ و $W$ على التوالي.

2. وضع المعادلة: بناءً على القانون الأول، نستخدم المحيط المعطى لوضع معادلة. لهذه المسألة، المحيط هو 24 بوصة، لذا المعادلة تصبح: $2L + 2W = 24$، أو ببساطة $L + W = 12$.

3. تمثيل العرض بالطول: نستخدم المعادلة السابقة لتمثيل العرض بالتبديل: $W = 12 – L$.

4. حساب المساحة: الآن نستخدم العلاقة لحساب المساحة باستخدام الطول والعرض كمتغيرين: $A = L \times (12 – L)$، حيث تكون $A$ هي المساحة.

5. العثور على القيمة القصوى للمساحة: نستخدم التفاضل للمساحة مع الطول للعثور على النقطة حيث يتحقق الحد الأقصى.

6. حل المعادلة التفاضلية: نجيب عن السؤال “ماذا يكون الطول عندما تكون المساحة أقصاها؟”، بحساب النقطة التي تكون فيها المشتقة الأولى للمساحة تساوي صفر.

7. حساب القيمة القصوى للمساحة: بعد حساب قيمة الطول، نستخدمه لحساب قيمة المساحة عند هذا الطول.

8. الإجابة: نقدم القيمة النهائية لأقصى مساحة ممكنة للمستطيل.

هذه الخطوات تمثل الطريقة التفصيلية التي يمكن استخدامها لحل مسألة حساب أقصى مساحة لمستطيل معين.