أقصى قيمة لـ a في a^3 + b^3 = 25 (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ و $b$ أعداد حقيقية إيجابية، وكان $a^3 + b^3 = 25$. فما هي أكبر قيمة ممكنة للعدد $a$؟

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفكيك معادلة $a^3 + b^3 = 25$ باستخدام صيغة مجموعة المكعبات:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

وفي هذه الحالة، نعلم أن القيم المعنية هي إيجابية، لذا يمكننا أن نفترض أن $a + b > 0$. بالتالي، نستطيع قسمة المعادلة الأصلية على $(a + b)$ للحصول على:

$a^2 – ab + b^2 = 25/(a + b)$

لكننا نبحث عن القيمة الأكبر لـ $a$، لذا سنفترض أيضًا أن $a > b$، مما يعني أن $a + b = a$، وبالتالي يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$a^2 – ab + b^2 = 25/a$

الآن، نحن بحاجة إلى أن نعثر على القيمة القصوى لـ $a$، وهذا يتطلب أن نجعل التعبير $a^2 – ab + b^2$ يكون أصغر قدر ممكن. يمكننا تحقيق ذلك عندما يكون الجزء الأول من المعادلة $a^2 – ab + b^2$ أصغر قدرًا ممكن.

للعثور على الحد الأدنى، سنستخدم مفهوم التربيع الكامل (Completing the Square). لدينا:

$a^2 – ab + b^2 = \left(a – \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$

الآن، نريد أن يكون الجزء الأول من المعادلة أصغر قدر ممكن، لذا يجب أن يكون $\left(a – \frac{b}{2}\right)^2$ أصغر قدر ممكن، وهذا يحدث عندما يكون $a – \frac{b}{2} = 0$، أي $a = \frac{b}{2}$.

المعادلة الأصلية تصبح بالتالي:

$\frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4} = \frac{25}{a}$

نجمع الكسور على الجهة اليمنى:

$\frac{4b^2 + 3b^2}{4} = \frac{25}{a}$

$\frac{7b^2}{4} = \frac{25}{a}$

الآن نقوم بحساب قيمة $a$ باستخدام النسبة:

$a = \frac{4 \times 25}{7} = \frac{100}{7}$

إذًا، القيمة الأكبر لـ $a$ هي $\frac{100}{7}$، وهي القيمة التي تحقق أقصى قيمة ممكنة للتعبير $a^3 + b^3$ عندما تكون $a > b$ و $a + b > 0$.

لحل هذه المسألة، بدأنا باستخدام معادلة مجموعة المكعبات:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$

هذه المعادلة تساعدنا في تفكيك مجموعة مكعبين إلى جزئين. في هذه الحالة، كان لدينا الشرط الإضافي أن $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية إيجابية، ولذا يمكننا أن نفترض أن $a + b > 0$.

بعد ذلك، قمنا بتقسيم المعادلة الأصلية على $(a + b)$ للحصول على:

$a^2 – ab + b^2 = \frac{25}{a + b}$

وبما أننا كنا نبحث عن القيمة الأكبر لـ $a$، فقد فرضنا أيضًا $a > b$، ومن ثم قللنا الشرط إلى $a + b = a$، مما أدى إلى تحويل المعادلة إلى:

$a^2 – ab + b^2 = \frac{25}{a}$

ثم استخدمنا مفهوم التربيع الكامل (Completing the Square) لجعل الجزء الأول من المعادلة، $a^2 – ab + b^2$، في صورة مربع كامل:

$a^2 – ab + b^2 = \left(a – \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$

هنا، أردنا أن يكون $\left(a – \frac{b}{2}\right)^2$ أصغر قدر ممكن، وذلك عندما يكون $a – \frac{b}{2} = 0$، أي $a = \frac{b}{2}$.

بعد ذلك، قمنا بتعويض هذه القيمة في المعادلة الأصلية للحصول على:

$\frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4} = \frac{25}{a}$

ثم قمنا بجمع الكسور على الجهة اليمنى للمعادلة:

$\frac{7b^2}{4} = \frac{25}{a}$

وأخذنا نسبة القيمتين للعثور على:

$a = \frac{4 \times 25}{7} = \frac{100}{7}$

القوانين والمفاهيم المستخدمة في هذا الحل:

1. معادلة مجموعة المكعبات: تستخدم لتفكيك مجموعة مكعبين إلى جزئين.
2. تفكيك مجموعة المكعبات: استخدمنا الصيغة لتحويل $a^3 + b^3$ إلى $(a + b)(a^2 – ab + b^2)$.
3. التربيع الكامل: تم استخدام مفهوم التربيع الكامل لتحويل $a^2 – ab + b^2$ إلى $\left(a – \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$، مما يساعد في تسهيل الحسابات.
4. تحديد القيمة الأقل للتربيع الكامل: اخترنا قيمة $a – \frac{b}{2} = 0$ لجعل الجزء الأول أصغر قدر ممكن.
5. النسبة العكسية: استخدمنا النسبة بين القيمتين للحصول على القيمة النهائية لـ $a$.

تم استخدام هذه القوانين والمفاهيم للتوصل إلى قيمة $a$ الأكبر الممكنة في السياق المعطى.