أعداد متتالية وأكبر عامل مشترك (مسألة رياضيات)

المجموعة $A$ تتكون من جميع الأعداد التي يمكن التعبير عنها كمجموع لثلاثة أعداد صحيحة متتالية. ما هو أكبر عامل مشترك لجميع الأعداد في المجموعة $A$؟

لنقم بتمثيل الأعداد الثلاثة المتتالية بشكل عام كالتالي: $n$, $n+1$, $n+2$.
بالتالي، مجموع هذه الأعداد يمكن تمثيله بالشكل التالي:
$n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$

إذاً، نرى أن جميع أعداد المجموعة $A$ تكون مضاعفة للعدد $3$، وبالتالي أكبر عامل مشترك لجميعها هو $3$.
ويكتب الجواب بشكل رياضي كالتالي:
$\text{أكبر عامل مشترك لجميع الأعداد في مجموعة } A = 3$

لحل المسألة، سنقوم بتمثيل الأعداد الثلاثة المتتالية بشكل عام كـ $n$, $n+1$, $n+2$. ثم سنجمعها للحصول على المجموع الكلي. بعد ذلك، سنحاول تحديد أكبر عامل مشترك لهذه المجموعات.

القانون المستخدم هنا هو قانون جمع الأعداد الثلاثة المتتالية والذي ينص على أن مجموع هذه الأعداد يتمثل في العدد الأوسط مضاعفا بعدد الأعداد (هنا ثلاثة).

الحل بالتفصيل:

1. نفترض أن العدد الأول في المجموعة هو $n$.
2. العدد الثاني سيكون $n + 1$.
3. العدد الثالث سيكون $n + 2$.
4. نقوم بجمع هذه الأعداد: $n + (n + 1) + (n + 2)$.
5. نبسط الجمع: $3n + 3$.
6. يمكن تبسيط هذا المجموع ليكون $3(n + 1)$.

من هذا التحليل، نجد أن جميع الأعداد في المجموعة تكون مضاعفة للعدد $(n + 1)$ وهو عدد ثلاثي. وبالتالي، العامل المشترك الأكبر لجميع الأعداد في المجموعة هو $3$.

باختصار، استخدمنا قوانين الجمع والتبسيط في العمليات الحسابية الأساسية، مع تطبيق الفكرة الرئيسية لتمثيل وجمع الأعداد الثلاثة المتتالية لفهم النمط الذي يظهر عند جمعها.